Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 26, 40, 40, 10, 22, 32.

n = 6

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 100 e desvio-padrão 10. Calcule a pontuação z z de uma nota de 92.

μ = 100σ = 10x = 92

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,1, 0,35, 0,25, 0,05

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

X tem a distribuição mostrada e Y = 3X + 10. Encontre o desvio padrão σ_Y de Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,25, 0,35, 0,3Y = 3X + 10

σ_Y =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,7620. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,7620

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os notas de prova têm distribuição normal com média 65 pontos e desvio padrão 10 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 85% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 65 pontosσ = 10 pontos85%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 16 itens tem média 16 e desvio-padrão s = 3,5. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.

n = 16x̄ = 16s = 3,595%t(15) = 2,131

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

Os diâmetros de 15 eixos usinados têm desvio-padrão amostral de 10,2 µm. Supondo que os diâmetros tenham distribuição normal, encontre o limite superior σ do intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional. Com gl = 14, 2,5% da distribuição χ² fica abaixo de 5,629 e 2,5% fica acima de 26,119.

n = 15s = 10,2 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Duas linhas de produção fabricam a mesma peça. Linha 1: uma amostra de 100 peças tem comprimento médio de 95 mm, e o desvio-padrão conhecido da linha é 14 mm. Linha 2: uma amostra de 60 peças tem média de 92,7 mm, desvio-padrão conhecido de 10 mm. Encontre a estatística de teste z para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (linha 1 menos linha 2).

n₁ = 100x̄₁ = 95 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 60x̄₂ = 92,7 mmσ₂ = 10 mm

z =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Que tamanho deve ter uma amostra para que o intervalo de confiança a 90 % para uma média tenha uma margem de erro de no máximo 2? O desvio-padrão é 15. Calcule o menor tamanho de amostra n.

σ = 15E = 290%

n =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 6

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 5 observações pareadas de x = carga em kN e y = alongamento em mm. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (9, 32). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 5(9, 32)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 11,55

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 170/6 = 28,33

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−2,333)² + 11,67² + 11,67² + (−18,33)² + (−6,333)² + 3,667² = 667,3

Desvio-padrão

s = √(667,3/5) = 11,55

Resposta

s = 11,55

2.Estatística descritiva

Resposta: z = −0,8

Padronizar

z = (92 − 100)/10 = −0,8

Resposta

z = −0,8

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 1,488

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,35 + 4·0,25 + 5·0,05 = 2,75

Média dos quadrados

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,35 + 16·0,25 + 25·0,05 = 9,05

Variância

Var(X) = 9,05 − 2,75² = 1,488

Resposta

Var(X) = 1,488

4.Probabilidades

Resposta: σ_Y = 2,889

Dispersão de X

μ = 2,85, Var(X) = 0,9275, σ_X = 0,9631

Mudança linear

σ_Y = |3|·0,9631 = 2,889

Resposta

σ_Y = 2,889

A média de fato se desloca: E(Y) = 3·2,85 + 10 = 18,55.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,18

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,7620)/2 = 0,8810

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8810 dentro da tabela e leia z.

z = 1,18

Resposta

z = 1,18

6.Distribuição normal

Resposta: x = 54,6 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,15

z da tabela

z ≈ −1,04

De volta às unidades originais

x = 65 − 1,04·10 = 54,6 pontos

Resposta

x = 54,6 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 14,14

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Margem de erro

E = 2,131·3,5/√16 = 1,865

Intervalo

16 ± 1,865 → [14,14, 17,86]

Resposta

limite inferior = 14,14

8.Intervalos de confiança

Resposta: σ = 16,09 µm

Intervalo para uma variância: (n − 1)s²/σ² tem distribuição χ² com n − 1 graus de liberdade. O intervalo de 95% para σ² vai de (n − 1)s² dividido pelo valor superior de χ² (2,5% acima dele) até (n − 1)s² dividido pelo valor inferior de χ² (2,5% abaixo dele); o intervalo para σ é a raiz quadrada dos dois limites. Ele não é simétrico em torno de s.

Soma de quadrados

(n − 1)s² = 14·10,2² = 1457

Limites para σ²

1457/26,119 = 55,77

1457/5,629 = 258,8

Limite para σ

σ = √258,8 = 16,09 µm

Resposta

σ = 16,09 µm

Intervalo de 95% para σ: [7,468, 16,09] µm.

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = 1,208

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Erro-padrão da diferença

SE = √(14²/100 + 10²/60) = √3,627 = 1,904

Estatística de teste

z = (95 − 92,7)/1,904 = 1,208

Resposta

z = 1,208

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: n = 153

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Resolver em ordem a n

n = (1,645·15/2)² = 152,2

Arredondar para cima

n = 153

Resposta

n = 153

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,9846

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 838/6 = 139,7

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 783

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3953

Coeficiente de determinação

r² = 783²/(157,5·3953) = 0,9846

Resposta

r² = 0,9846

Cerca de 98,46% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −1,85

Médias

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 122/5 = 24,4

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Reta de regressão

b = 126/40 = 3,15

a = 24,4 − 3,15·6 = 5,5

ŷ = 5,5 + 3,15·x

Valor previsto

ŷ = 5,5 + 3,15·9 = 33,85

Resíduo

e = 32 − 33,85 = −1,85

Resposta

e = −1,85

O ponto está abaixo da reta.

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