Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 17, 58, 15, 22, 32, 19, 39.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 500 e desvio-padrão 25. Calcule a pontuação z z de uma nota de 531,3.

μ = 500σ = 25x = 531,3

z =

3.ProbabilidadesMédia

Lança-se um dado equilibrado 6 vezes. Qual é a probabilidade P de sair pelo menos um seis?

n = 6

P =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €5 para jogar. Você ganha €10 com probabilidade 0,1 e €100 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €5€10: p = 0,1€100: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0239. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,0239

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 20% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 15 itens tem média 87,5 e desvio-padrão s = 6. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 15x̄ = 87,5s = 699%t(14) = 2,977

limite inferior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 31. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 5?

σ = 31E = 599%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 64 estudantes tem nota média 71,63 e desvio-padrão amostral 15. Calcule a estatística de teste t para H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,63s = 15n = 64

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 36 medições tem média 496,6. O desvio-padrão da população é 12. Calcule o limite inferior L do intervalo de confiança a 99 % para a média.

x̄ = 496,6σ = 12n = 3699%

L =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.

n = 5

r² =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (19,5, 97). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(19,5, 97)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 15,49

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 202/7 = 28,86

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−11,86)² + 29,14² + (−13,86)² + (−6,857)² + 3,143² + (−9,857)² + 10,14² = 1439

Desvio-padrão

s = √(1439/6) = 15,49

Resposta

s = 15,49

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 1,25

Padronizar

z = (531,3 − 500)/25 = 1,25

Resposta

z = 1,25

3.Probabilidades

Resposta: P = 0,6651

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Complementar

P(nenhum seis) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Resposta

P = 0,6651

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 1 €

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Resultados líquidos

G: 5 (p = 0,1), 95 (p = 0,05), −5 (p = 0,85)

Valor esperado

E(G) = 5·0,1 + 95·0,05 − 5·0,85 = 1 €

Resposta

E(G) = 1 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,98

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,0239 = 0,9761

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,9761 dentro da tabela e leia z.

z = 1,98

Resposta

z = 1,98

6.Distribuição normal

Resposta: x = 534 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,8

z da tabela

z ≈ 0,84

De volta às unidades originais

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Resposta

x = 534 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 82,89

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Margem de erro

E = 2,977·6/√15 = 4,612

Intervalo

87,5 ± 4,612 → [82,89, 92,11]

Resposta

limite inferior = 82,89

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 256

Resolver em ordem a n

n = (2,576·31/5)² = 255,1

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 256

Resposta

n = 256

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = −1,797

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Erro-padrão

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Estatística de teste

t = (71,63 − 75)/1,875 = −1,797

Resposta

t = −1,797

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: L = 491,4

Margem de erro

E = 2,576·12/√36 = 5,152

Limite do intervalo

L = 496,6 − 5,152 = 491,4

Resposta

L = 491,4

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r² = 0,5814

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 264/5 = 52,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 154,8

Coeficiente de determinação

r² = 30²/(10·154,8) = 0,5814

Resposta

r² = 0,5814

Cerca de 58,14% da variação de y é explicada pela reta.

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = −4,676

Médias

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 776/6 = 129,3

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 726

Reta de regressão

b = 726/157,5 = 4,61

a = 129,3 − 4,61·25,5 = 11,79

ŷ = 11,79 + 4,61·x

Valor previsto

ŷ = 11,79 + 4,61·19,5 = 101,7

Resíduo

e = 97 − 101,7 = −4,676

Resposta

e = −4,676

O ponto está abaixo da reta.

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