Estatística descritiva
- Média
- x̄ = Σx/n
- Desvio-padrão amostral
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Mediana
- valor do meio dos dados ordenados
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Distribuição normal
- 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ
Introdução à Estatística: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Probabilidades
- Complementar
- P(not A) = 1 − P(A)
- Regra da adição
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Eventos independentes
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Probabilidade condicional
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Distribuição normal
- Pontuação z
- z = (x − μ)/σ
- Abaixo de x
- P(X < x) = Φ(z)
- Acima de x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Entre
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Percentil
- x = μ + z·σ
Método
- Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
- Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
- Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
- Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.
Intervalos de confiança
- σ conhecido
- x̄ ± z·σ/√n
- σ desconhecido
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z crítico
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Tamanho da amostra
- n = (z·σ/E)², rounded up
Método
- Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
- Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
- Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
- Intervalo: x̄ ± E.
Testes de hipóteses e intervalos de confiança
- Teste z para uma média
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Teste t para uma média
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Bilateral a 5%
- rejeite H0 se |z| > 1,96
- Intervalo de confiança
- x̄ ± z·σ/√n
Método
- Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
- Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
- Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
- Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.
Regressão linear e correlação
- Somas de quadrados
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Inclinação
- b = Sxy/Sxx
- Intercepto
- a = ȳ − b·x̄
- Correlação
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Resíduo
- e = y − ŷ
2Exercícios
1.Estatística descritivaMédia
Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 28, 25, 48, 46, 51, 42.
n = 6
s =
2.Estatística descritivaDifícil
Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está acima de 47,5?
μ = 70σ = 15x = 47,5
P =
3.ProbabilidadesMédia
De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 2 pessoas num grupo de 6? A ordem não interessa.
n = 6k = 2
N =
4.ProbabilidadesDifícil
Um jogo custa €10 para jogar. Você ganha €50 com probabilidade 0,15 e €200 com probabilidade 0,01; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.
aposta = €10€50: p = 0,15€200: p = 0,01
E(G) = €
5.Distribuição normalMédia
Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,0174. Encontre z com duas casas decimais.
A = 0,0174
z =
6.Distribuição normalDifícil
Os diâmetros D dos furos são normais com média 25,04 mm e desvio padrão 0,02 mm. Os diâmetros d dos eixos são independentes e normais com média 25 mm e desvio padrão 0,02 mm. Um eixo escolhido ao acaso encaixa quando D − d > 0. Encontre a probabilidade P de ele encaixar. Arredonde z para duas casas decimais.
furo: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmeixo: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Intervalos de confiançaMédia
Uma amostra de 25 itens tem média 18,5 e desvio-padrão s = 12. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite inferior do intervalo de confiança de 95% para a média.
n = 25x̄ = 18,5s = 1295%t(24) = 2,064
limite inferior =
8.Intervalos de confiançaDifícil
O desvio-padrão da população é 18. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?
σ = 18E = 499%
n =
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia
15 funcionários fazem um teste de digitação antes e depois de um curso de treinamento. Para cada pessoa é registrada a diferença d = depois − antes (palavras por minuto). A diferença média é −4,09 e o desvio-padrão das diferenças é 4,4. Encontre a estatística do teste pareado t para H₀: μd = 0.
n = 15d̄ = −4,09sd = 4,4
t =
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil
Um teste z unilateral de H₀: μ = 50 contra H₁: μ < 50 é feito com α = 0.05 e uma amostra de 25; o desvio-padrão é conhecido e vale 10. Na realidade a média é 46.4. Encontre a probabilidade de um erro do tipo II β em porcentagem.
μ₀ = 50μ = 46,4σ = 10n = 25α = 0,05
β = %
11.Regressão linear e correlaçãoMédia
A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de determinação r² da reta de mínimos quadrados.
n = 5
r² =
12.Regressão linear e correlaçãoDifícil
A tabela dá 6 observações pareadas de x = idade do carro em anos e y = preço em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 20?
n = 6ŷ = 20
x =
3Soluções
1.Estatística descritiva
Resposta: s = 10,9
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Média
x̄ = 240/6 = 40
Desvios ao quadrado
Σ(x − x̄)² = (−12)² + (−15)² + 8² + 6² + 11² + 2² = 594
Desvio-padrão
s = √(594/5) = 10,9
Resposta
s = 10,9
2.Estatística descritiva
Resposta: P = 0,9332
Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.
Padronizar
z = −1,5
Tabela da normal padrão
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Resposta
P = 0,9332
3.Probabilidades
Resposta: N = 15
Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinações
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Resposta
N = 15
4.Probabilidades
Resposta: E(G) = −0,5 €
Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σY = |a|·σX; somar uma constante não muda a dispersão.
Resultados líquidos
G: 40 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)
Valor esperado
E(G) = 40·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −0,5 €
Resposta
E(G) = −0,5 €
Um valor negativo significa que você perde dinheiro em média.
5.Distribuição normal
Resposta: z = 2,11
De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.
Área à esquerda de z
Φ(z) = 1 − 0,0174 = 0,9826
Leia a tabela de z ao contrário
Encontre 0,9826 dentro da tabela e leia z.
z = 2,11
Resposta
z = 2,11
6.Distribuição normal
Resposta: P = 0,9207
Somas e diferenças de variáveis normais: se X e Y são independentes e normais, X + Y e X − Y também são normais. As médias se somam ou se subtraem: E(X ± Y) = μX ± μY. As variâncias sempre se somam, também em uma diferença: Var(X ± Y) = σX² + σY², portanto σ = √(σX² + σY²). Os desvios padrão nunca se somam diretamente. O total de n itens independentes com a mesma distribuição tem média n·μ e desvio padrão σ·√n. Depois padronize como de costume: z = (x − média)/σ e leia Φ(z).
Distribuição da diferença
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
Padronizar
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
Probabilidades
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Resposta
P = 0,9207
7.Intervalos de confiança
Resposta: limite inferior = 13,55
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Valor crítico
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Margem de erro
E = 2,064·12/√25 = 4,954
Intervalo
18,5 ± 4,954 → [13,55, 23,45]
Resposta
limite inferior = 13,55
8.Intervalos de confiança
Resposta: n = 135
Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.
Resolver em ordem a n
n = (2,576·18/4)² = 134,4
Arredondar para cima
O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.
n = 135
Resposta
n = 135
9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: t = −3,6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Erro-padrão da diferença média
SE = 4,4/√15 = 1,136
Estatística de teste
t = −4,09/1,136 = −3,6
Resposta
t = −3,6
Com gl = 14, o valor crítico bilateral a 5% é 2,145; |t| é maior, então H₀ é rejeitada.
10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança
Resposta: β = 43,84 %
Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Média amostral crítica
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 50 − 1,645·2 = 46,71
z sob a média verdadeira
z = (46,71 − 46,4)/2 = 0,155
Erro do tipo II
poder = P(Z < 0.155) = 56.16%
β = 100% − 56,16% = 43,84%
Resposta
β = 43,84%
11.Regressão linear e correlação
Resposta: r² = 0,9251
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 338/5 = 67,6
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108
Syy = Σ(y − ȳ)² = 315,2
Coeficiente de determinação
r² = 108²/(40·315,2) = 0,9251
Resposta
r² = 0,9251
Cerca de 92,51% da variação de y é explicada pela reta.
12.Regressão linear e correlação
Resposta: x = 2,556
Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.
Médias
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17
Somas de quadrados e de produtos
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −52,5
Reta de regressão
b = −52,5/17,5 = −3
a = 17,17 − (−3)·3,5 = 27,67
ŷ = 27,67 − 3·x
Resolver para x
x = (20 − 27,67)/(−3) = 2,556
Resposta
x = 2,556
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