Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 35, 48, 56, 57, 13.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 20. Que proporção P dos valores está acima de 54?

μ = 70σ = 20x = 54

P =

3.ProbabilidadesMédia

De quantas maneiras N se pode escolher uma comissão de 3 pessoas num grupo de 11? A ordem não interessa.

n = 11k = 3

N =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 10 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,3, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?

n = 10p = 0,3k = 2

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,5098. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,5098

z =

6.Distribuição normalDifícil

As durações de baterias seguem uma distribuição normal com média 500 h e desvio-padrão 40 h. Calcule o valor x abaixo do qual estão 10% delas (o percentil 10).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

Uma amostra de 25 itens tem média 45,5 e desvio-padrão s = 19. A população é aproximadamente normal. Calcule o limite superior do intervalo de confiança de 99% para a média.

n = 25x̄ = 45,5s = 1999%t(24) = 2,797

limite superior =

8.Intervalos de confiançaDifícil

O desvio-padrão da população é 18. Qual o tamanho de amostra n necessário para que um intervalo de confiança de 99% para a média tenha margem de erro de no máximo 4?

σ = 18E = 499%

n =

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 100; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 10. Uma amostra aleatória de 100 observações tem média 98,14. Teste H₀: μ = 100 contra H₁: μ ≠ 100. Encontre o valor p p.

μ₀ = 100σ = 10n = 100x̄ = 98,14H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Uma amostra de 64 medições tem média 47,6. O desvio-padrão da população é 15. Calcule o limite superior U do intervalo de confiança a 90 % para a média.

x̄ = 47,6σ = 15n = 6490%

U =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 6 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. As suas somas são dadas. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r a partir dessas somas.

n = 6Σx = 27Σy = 378Σx² = 139Σy² = 24042Σxy = 1760

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = temperatura em °C e y = sorvetes vendidos. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 173?

n = 6ŷ = 173

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 18,35

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 209/5 = 41,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−6,8)² + 6,2² + 14,2² + 15,2² + (−28,8)² = 1347

Desvio-padrão

s = √(1347/4) = 18,35

Resposta

s = 18,35

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,7881

Padronizar

z = −0,8

Tabela da normal padrão

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Resposta

P = 0,7881

3.Probabilidades

Resposta: N = 165

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Combinações

C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165

Resposta

N = 165

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2335

Fórmula binomial

P(X = 2) = 45·0,3²·0,7⁸ = 45·0,09·0,05765 = 0,2335

Resposta

P = 0,2335

5.Distribuição normal

Resposta: z = 0,69

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,5098)/2 = 0,7549

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,7549 dentro da tabela e leia z.

z = 0,69

Resposta

z = 0,69

6.Distribuição normal

Resposta: x = 448,7 h

Distribuição normal: converta um valor x em uma pontuação z, z = (x − μ)/σ, que conta quantos desvios-padrão ele está da média. Uma tabela z (ou Φ(z)) dá a área à esquerda de z, que é P(X < x). A área à direita é 1 − Φ(z), e a área entre dois valores é a diferença entre as duas áreas.

z do percentil

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

De volta a x

x = 500 + −1,282·40 = 448,74 h

Resposta

x = 448,74 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 56,13

Intervalo de confiança para uma média: x̄ ± margem de erro. Com σ populacional conhecido, a margem é z·σ/√n; tendo apenas o desvio-padrão amostral s, use t com n − 1 graus de liberdade: t·s/√n. Valores críticos: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Para obter uma margem E ou menor, você precisa de n ≥ (z·σ/E)², arredondado para cima.

Valor crítico

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Margem de erro

E = 2,797·19/√25 = 10,63

Intervalo

45,5 ± 10,63 → [34,87, 56,13]

Resposta

limite superior = 56,13

8.Intervalos de confiança

Resposta: n = 135

Resolver em ordem a n

n = (2,576·18/4)² = 134,4

Arredondar para cima

O tamanho da amostra é um número inteiro, e arredondar para baixo deixaria a margem grande demais.

n = 135

Resposta

n = 135

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,06289

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 10/√100 = 1

z = (98,14 − 100)/1 = −1,86

Área da cauda

Φ(1,86) = 0,9686

1 − Φ(1,86) = 0,0314

Valor p

p = 2·0,0314 = 0,06289

Resposta

p = 0,06289

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: U = 50,68

Teste a uma média: a estatística de teste mede a quantos erros-padrão a média amostral está do valor afirmado em H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) quando σ é conhecido, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) quando é estimado pela amostra. Um intervalo de confiança é x̄ ± (valor crítico)·(erro-padrão).

Margem de erro

E = 1,645·15/√64 = 3,084

Limite do intervalo

U = 47,6 + 3,084 = 50,68

Resposta

U = 50,68

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,934

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Somas centradas

S_xy = 1760 − 27·378/6 = 59

S_xx = 139 − 27²/6 = 17,5

S_yy = 24042 − 378²/6 = 228

Coeficiente de correlação

r = 59/√(17,5·228) = 0,934

Resposta

r = 0,934

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 29,56

Médias

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 827/6 = 137,8

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 913,5

Reta de regressão

b = 913,5/157,5 = 5,8

a = 137,8 − 5,8·23,5 = 1,533

ŷ = 1,533 + 5,8·x

Resolver para x

x = (173 − 1,533)/5,8 = 29,56

Resposta

x = 29,56

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1