Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 54, 28, 21, 23, 45, 50, 19.

n = 7

s =

2.Estatística descritivaDifícil

Uma grandeza segue uma distribuição normal com média 70 e desvio-padrão 15. Que proporção P dos valores está abaixo de 92,5?

μ = 70σ = 15x = 92,5

P =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,15, 0,3, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um teste tem 11 perguntas de escolha múltipla. Uma estudante que responde ao acaso acerta cada uma com probabilidade 0,1, de forma independente. Qual é a probabilidade P de acertar exatamente 2?

n = 11p = 0,1k = 2

P =

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada entre −z e z sob a curva normal padrão seja 0,7415. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,7415

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os durações de baterias têm distribuição normal com média 500 h e desvio padrão 40 h. Arraste o ponto de corte para que os 80% inferiores sombreados fiquem à esquerda dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

7.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 6 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média −9,5 e desvio-padrão 7,1. Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para a diferença média.

n = 6d̄ = −9,5s_d = 7,190%t(5) = 2,015

limite inferior = mmHg

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 8 parcelas, produção média 10,5 kg, desvio-padrão 7,5 kg. Grupo de parcelas 2: 9 parcelas, média 22 kg, desvio-padrão 6 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 8x̄₁ = 10,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 22s₂ = 695%t(15) = 2,131

limite superior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Afirma-se que a média de uma população é 500; o desvio-padrão da população é conhecido e vale 32. Uma amostra aleatória de 64 observações tem média 503,52. Teste H₀: μ = 500 contra H₁: μ > 500. Encontre o valor p p.

μ₀ = 500σ = 32n = 64x̄ = 503,52H₁: μ > μ₀

p =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Um teste z unilateral de H₀: μ = 50 contra H₁: μ > 50 é feito com α = 0,05 e uma amostra de 36; o desvio-padrão é conhecido e vale 15. Na realidade a média é 54,5. Encontre o poder 1 − β do teste em porcentagem.

μ₀ = 50μ = 54,5σ = 15n = 36α = 0,05

1 − β = %

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. Para que valor x a reta prevê ŷ = 61?

n = 6ŷ = 61

x =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 14,87

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 240/7 = 34,29

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = 19,71² + (−6,286)² + (−13,29)² + (−11,29)² + 10,71² + 15,71² + (−15,29)² = 1327

Desvio-padrão

s = √(1327/6) = 14,87

Resposta

s = 14,87

2.Estatística descritiva

Resposta: P = 0,9332

Padronizar

z = 1,5

Tabela da normal padrão

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Resposta

P = 0,9332

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 5,31

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,25 + 2·0,15 + 4·0,3 + 6·0,3 = 3,3

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,15 + 16·0,3 + 36·0,3 = 16,2

Variância

Var(X) = 16,2 − 3,3² = 5,31

Resposta

Var(X) = 5,31

4.Probabilidades

Resposta: P = 0,2131

Probabilidades: com resultados equiprováveis, P(A) = favoráveis/possíveis. Para acontecimentos independentes multiplica-se: P(A e B) = P(A)·P(B). O complementar ajuda muitas vezes: P(pelo menos um) = 1 − P(nenhum). Binomial: em n provas independentes com probabilidade de sucesso p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Fórmula binomial

P(X = 2) = 55·0,1²·0,9⁹ = 55·0,01·0,3874 = 0,2131

Resposta

P = 0,2131

5.Distribuição normal

Resposta: z = 1,13

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = (1 + 0,7415)/2 = 0,8708

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,8708 dentro da tabela e leia z.

z = 1,13

Resposta

z = 1,13

6.Distribuição normal

Resposta: x = 534 h

Área à esquerda

Φ(z) = 0,8

z da tabela

z ≈ 0,84

De volta às unidades originais

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Resposta

x = 534 h

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = −15,34 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 5, t = 2,015

Margem de erro

E = 2,015·7,1/√6 = 5,841

Intervalo

−9,5 ± 5,841 → [−15,34, −3,659]

Resposta

limite inferior = −15,34 mmHg

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = −4,519 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (7·7,5² + 8·6²)/15 = 45,45

s_p = 6,742

Margem de erro

E = 2,131·6,742·√(1/8 + 1/9) = 6,981

Intervalo

−11,5 ± 6,981 → [−18,48, −4,519]

Resposta

limite superior = −4,519 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: p = 0,1894

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Estatística de teste

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (503,52 − 500)/4 = 0,88

Área da cauda

Φ(0,88) = 0,8106

1 − Φ(0,88) = 0,1894

Valor p

p = 0,1894

Resposta

p = 0,1894

p > 0,05, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5%.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: 1 − β = 56,16 %

Poder de um teste: poder = 1 − β é a probabilidade de rejeitar H₀ quando ela é falsa. Encontre o limite x̄c a partir de μ₀ e z_α, depois calcule a probabilidade de cair além de x̄c usando a média verdadeira: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Média amostral crítica

SE = 15/√36 = 2,5

x̄_c = 50 + 1,645·2,5 = 54,11

z sob a média verdadeira

z = (54,11 − 54,5)/2,5 = −0,155

Potência

poder = P(Z > −0,155) = 56,16%

1 − β = 56,16%

Resposta

1 − β = 56,16%

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,8295

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 270/5 = 54

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 168

Coeficiente de correlação

r = 34/√(10·168) = 0,8295

Resposta

r = 0,8295

12.Regressão linear e correlação

Resposta: x = 4,637

Médias

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 361/6 = 60,17

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106,5

Reta de regressão

b = 106,5/17,5 = 6,086

a = 60,17 − 6,086·4,5 = 32,78

ŷ = 32,78 + 6,086·x

Resolver para x

x = (61 − 32,78)/6,086 = 4,637

Resposta

x = 4,637

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