Introdução à Estatística: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 12 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Estatística descritiva

Média: x̄ = Σx/n
Desvio-padrão amostral: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Mediana: valor do meio dos dados ordenados
Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Distribuição normal: 68% dentro de ±1σ, 95% dentro de ±2σ

Probabilidades

Complementar: P(not A) = 1 − P(A)
Regra da adição: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Distribuição normal

Pontuação z: z = (x − μ)/σ
Abaixo de x: P(X < x) = Φ(z)
Acima de x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Entre: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Percentil: x = μ + z·σ

Método

Converta o valor em um escore z: z = (x − μ)/σ.
Procure Φ(z), a área à esquerda de z.
Para a área à direita use 1 − Φ(z); para um intervalo subtraia as duas áreas à esquerda.
Para um percentil, faça o caminho inverso: encontre z para a área e depois x = μ + z·σ.

Intervalos de confiança

σ conhecido: x̄ ± z·σ/√n
σ desconhecido: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z crítico: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Tamanho da amostra: n = (z·σ/E)², rounded up

Método

Escolha entre z (σ populacional conhecido) e t (só o s amostral, com n − 1 graus de liberdade).
Encontre o valor crítico para o nível de confiança.
Margem de erro: E = valor crítico × desvio-padrão/√n.
Intervalo: x̄ ± E.

Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Teste z para uma média: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Teste t para uma média: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Bilateral a 5%: rejeite H₀ se |z| > 1,96
Intervalo de confiança: x̄ ± z·σ/√n

Método

Enuncie H₀ e H₁ e decida se o teste é unilateral ou bilateral.
Calcule a estatística de teste: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), ou com s e t.
Compare com o valor crítico, ou encontre o valor-p.
Rejeite H₀ se a estatística estiver além do valor crítico (p abaixo de α) e enuncie a conclusão em palavras.

Regressão linear e correlação

Somas de quadrados: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Inclinação: b = S_xy/S_xx
Intercepto: a = ȳ − b·x̄
Correlação: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Resíduo: e = y − ŷ

2Exercícios

1.Estatística descritivaMédia

Calcule o desvio-padrão amostral s dos dados: 10, 33, 26, 46, 24.

n = 5

s =

2.Estatística descritivaDifícil

As notas de um exame seguem uma distribuição normal com média 170 e desvio-padrão 5. Calcule a pontuação z z de uma nota de 173.

μ = 170σ = 5x = 173

z =

3.ProbabilidadesMédia

Para a distribuição mostrada, encontre a variância Var(X) de X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

Var(X) =

4.ProbabilidadesDifícil

Um jogo custa €1 para jogar. Você ganha €2 com probabilidade 0,2 e €50 com probabilidade 0,05; caso contrário, não ganha nada. A aposta não é devolvida. Encontre o ganho líquido esperado E(G) por jogo.

aposta = €1€2: p = 0,2€50: p = 0,05

E(G) = €

5.Distribuição normalMédia

Arraste z para que a área sombreada sob a curva normal padrão, à direita de z, seja 0,9319. Encontre z com duas casas decimais.

A = 0,9319

z =

6.Distribuição normalDifícil

Os pontuações de QI têm distribuição normal com média 100 pontos e desvio padrão 15 pontos. Arraste o ponto de corte para que os 5% superiores sombreados fiquem à direita dele. Encontre o ponto de corte x.

μ = 100 pontosσ = 15 pontos5%

x = pontos

7.Intervalos de confiançaMédia

A pressão arterial de 9 pacientes é medida antes e depois de um tratamento. As diferenças d = antes − depois (mmHg) têm média 8 e desvio-padrão 6,6. Encontre o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a diferença média.

n = 9d̄ = 8s_d = 6,695%t(8) = 2,306

limite superior = mmHg

8.Intervalos de confiançaDifícil

Dois fertilizantes são testados. Grupo de parcelas 1: 9 parcelas, produção média 15,5 kg, desvio-padrão 6,5 kg. Grupo de parcelas 2: 22 parcelas, média 4,5 kg, desvio-padrão 9,5 kg. Suponha variâncias iguais (t combinado, gl = n₁ + n₂ − 2). Encontre o limite inferior do intervalo de confiança de 90% para μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 15,5s₁ = 6,5n₂ = 22x̄₂ = 4,5s₂ = 9,590%t(29) = 1,699

limite inferior = kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaMédia

Dois métodos de ensino são comparados. Grupo 1: 7 alunos, nota média 52, desvio-padrão 7. Grupo 2: 7 alunos, nota média 47, desvio-padrão 8,5. Suponha variâncias populacionais iguais e use o teste t de duas amostras com variância combinada. Encontre a estatística de teste t para H₀: μ₁ = μ₂, tomando a diferença como x̄₁ − x̄₂ (grupo 1 menos grupo 2).

n₁ = 7x̄₁ = 52s₁ = 7n₂ = 7x̄₂ = 47s₂ = 8,5

t =

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiançaDifícil

Em um ensaio, 175 de 250 pacientes com o tratamento A se recuperam, e 80 de 100 pacientes com o tratamento B. Usando a proporção combinada, encontre a estatística de teste z para H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 175n₁ = 250x₂ = 80n₂ = 100

z =

11.Regressão linear e correlaçãoMédia

A tabela dá 5 observações pareadas de x = horas de estudo e y = nota na prova. Encontre o coeficiente de correlação de Pearson r.

n = 5

r =

12.Regressão linear e correlaçãoDifícil

A tabela dá 6 observações pareadas de x = gasto com publicidade em k€ e y = vendas em k€. Use a reta de mínimos quadrados ŷ = a + b·x. É feita uma nova observação (8, 58). Encontre o seu resíduo e = y − ŷ.

n = 6(8, 58)

e =

3Soluções

1.Estatística descritiva

Resposta: s = 13,16

Estatística descritiva: a média é a soma a dividir por n; a mediana é o valor central dos dados ordenados (a média dos dois centrais se n for par). O desvio-padrão amostral é s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Uma pontuação z = (x − μ)/σ diz a quantos desvios-padrão da média está um valor.

Média

x̄ = 139/5 = 27,8

Desvios ao quadrado

Σ(x − x̄)² = (−17,8)² + 5,2² + (−1,8)² + 18,2² + (−3,8)² = 692,8

Desvio-padrão

s = √(692,8/4) = 13,16

Resposta

s = 13,16

2.Estatística descritiva

Resposta: z = 0,6

Padronizar

z = (173 − 170)/5 = 0,6

Resposta

z = 0,6

3.Probabilidades

Resposta: Var(X) = 0,6475

Variáveis aleatórias discretas: uma distribuição de probabilidade lista cada valor x que uma variável pode assumir com sua probabilidade p(x); as probabilidades ficam entre 0 e 1 e somam 1. O valor esperado (média) é E(X) = Σx·p(x), a média de longo prazo. A variância é Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², e o desvio padrão é σ = √Var(X). Para uma mudança linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) e σ_Y = |a|·σ_X; somar uma constante não muda a dispersão.

Média

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Média dos quadrados

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Variância

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

Resposta

Var(X) = 0,6475

4.Probabilidades

Resposta: E(G) = 1,9 €

Resultados líquidos

G: 1 (p = 0,2), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)

Valor esperado

E(G) = 1·0,2 + 49·0,05 − 1·0,75 = 1,9 €

Resposta

E(G) = 1,9 €

Um valor positivo significa que você ganha dinheiro em média.

5.Distribuição normal

Resposta: z = −1,49

De uma área de volta a z: Φ(z) é a área à esquerda de z. Para uma área de cauda esquerda A, encontre na tabela o z com Φ(z) = A. Uma área de cauda direita A significa Φ(z) = 1 − A. Uma área central A entre −z e z deixa (1 − A)/2 em cada cauda, então Φ(z) = (1 + A)/2. Para um valor x, use x = μ + zσ.

Área à esquerda de z

Φ(z) = 1 − 0,9319 = 0,0681

Leia a tabela de z ao contrário

Encontre 0,0681 dentro da tabela e leia z.

z = −1,49

Resposta

z = −1,49

6.Distribuição normal

Resposta: x = 124,6 pontos

Área à esquerda

Φ(z) = 0,95

z da tabela

z ≈ 1,64

De volta às unidades originais

x = 100 + 1,64·15 = 124,6 pontos

Resposta

x = 124,6 pontos

7.Intervalos de confiança

Resposta: limite superior = 13,07 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Valor crítico

df = 8, t = 2,306

Margem de erro

E = 2,306·6,6/√9 = 5,073

Intervalo

8 ± 5,073 → [2,927, 13,07]

Resposta

limite superior = 13,07 mmHg

8.Intervalos de confiança

Resposta: limite inferior = 5,101 kg

Desvio-padrão combinado

s_p² = (8·6,5² + 21·9,5²)/29 = 77,01

s_p = 8,775

Margem de erro

E = 1,699·8,775·√(1/9 + 1/22) = 5,899

Intervalo

11 ± 5,899 → [5,101, 16,9]

Resposta

limite inferior = 5,101 kg

9.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: t = 1,201

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Variância combinada

s_p² = (6·7² + 6·8,5²)/12 = 60,63

s_p = 7,786

Erro-padrão

SE = 7,786·√(1/7 + 1/7) = 4,162

Estatística de teste

t = (52 − 47)/4,162 = 1,201

Resposta

t = 1,201

Com gl = 12, o valor crítico bilateral a 5% é 2,179; |t| é menor, então H₀ não é rejeitada.

10.Testes de hipóteses e intervalos de confiança

Resposta: z = −1,901

Proporções amostrais

p̂₁ = 175/250 = 0,7

p̂₂ = 80/100 = 0,8

p̂ = 255/350 = 0,7286

Erro-padrão sob H₀

SE = √(0,7286·0,2714·(1/250 + 1/100)) = 0,05262

Estatística de teste

z = (0,7 − 0,8)/0,05262 = −1,901

Resposta

z = −1,901

|z| < 1,96, então H₀ não é rejeitada ao nível de 5% (bilateral).

11.Regressão linear e correlação

Resposta: r = 0,9879

Regressão por mínimos quadrados: com x̄ e ȳ as médias, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² e Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), a reta ŷ = a + b·x tem inclinação b = Sxy/Sxx e intercepto a = ȳ − b·x̄, então ela sempre passa por (x̄, ȳ). O coeficiente de correlação de Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) fica entre −1 e 1; r² é a fração da variação de y explicada pela reta.

Médias

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 388/5 = 77,6

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1785

Coeficiente de correlação

r = 264/√(40·1785) = 0,9879

Resposta

r = 0,9879

12.Regressão linear e correlação

Resposta: e = 2,562

Médias

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 286/6 = 47,67

Somas de quadrados e de produtos

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

Reta de regressão

b = 272/70 = 3,886

a = 47,67 − 3,886·6 = 24,35

ŷ = 24,35 + 3,886·x

Valor previsto

ŷ = 24,35 + 3,886·8 = 55,44

Resíduo

e = 58 − 55,44 = 2,562

Resposta

e = 2,562

O ponto está acima da reta.

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