Molas e pêndulos
- Massa em uma mola
- T = 2π·√(m/k)
- Pêndulo
- T = 2π·√(L/g)
- Frequência angular
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocidade e aceleração máximas
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Ondas e Óptica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 4 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Ondas, som e óptica
- Velocidade da onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Nível sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Fonte puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Ondas estacionárias
- corda ou tubo aberto fn = n·v/(2L); tubo fechado fn = n·v/(4L), n ímpar
- Efeito Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Índice de refração
- n = c/v, λ = λ0/n
- Lei de Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Ângulo crítico
- sin θc = n2/n1
- Fibra óptica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentes e espelhos
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Fenda dupla
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Rede de difração
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenda simples
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Método
- Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
- Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
- Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.
2Exercícios
1.Molas e pêndulosMédia
Uma massa de 3 kg presa a uma mola com k = 110 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 8 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 1 cm do equilíbrio.
m = 3 kgk = 110 N/mA = 8 cmx = 1 cm
v = m/s
2.Molas e pêndulosDifícil
Um projétil de 15 g a 100 m/s atinge e fica alojado em um bloco de 2 kg em repouso sobre uma superfície sem atrito. O bloco está preso a uma mola horizontal com k = 1000 N/m. Encontre a amplitude A da oscilação resultante em cm.
m = 15 gv = 100 m/sM = 2 kgk = 1000 N/m
A = cm
3.Ondas, som e ópticaMédia
Um tubo fechado em uma extremidade tem 0,6 m de comprimento. A velocidade do som é 343 m/s. Encontre a frequência f1 do modo fundamental (primeiro harmônico).
v = 343 m/sn = 1L = 0,6 m
f1 = Hz
4.Ondas, som e ópticaDifícil
Uma fibra óptica tem um núcleo com n₁ = 1,62 e uma casca com n₂ = 1,59. Encontre o maior ângulo θa com o eixo da fibra em que a luz vinda do ar pode entrar na extremidade da fibra e ainda ser guiada por reflexão interna total.
n1 = 1,62n2 = 1,59n0 = 1,00
θa = °
3Soluções
1.Molas e pêndulos
Resposta: v = 0,4806 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Frequência angular
ω = √(110/3) = 6,055 rad/s
Velocidade em x
v = ω·√(A² − x²) = 6,055·√(0,08² − 0,01²) = 0,4806 m/s
Resposta
v = 0,4806 m/s
2.Molas e pêndulos
Resposta: A = 3,342 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Velocidade após o impacto
V = m·v/(m + M) = 0,015·100/2,015 = 0,7444 m/s
Frequência angular
ω = √(k/(m + M)) = √(1000/2,015) = 22,28 rad/s
Amplitude
A = V/ω = 0,7444/22,28 = 0,03342 m = 3,342 cm
Resposta
A = 3,342 cm
3.Ondas, som e óptica
Resposta: f1 = 142,9 Hz
Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, fn = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.
Comprimento de onda deste modo
λ = 4L/n = 4·0,6/1 = 2,4 m
Frequência
f = v/λ = 343/2,4 = 142,9 Hz
Resposta
f1 = 142,9 Hz
4.Ondas, som e óptica
Resposta: θa = 18,08 °
Óptica geométrica: numa fronteira, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (lei de Snell), com os ângulos medidos a partir da normal e n = c/v. Ao entrar num meio mais lento, o raio se aproxima da normal. A partir de um meio mais denso (n₁ > n₂), além do ângulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda a luz é refletida: reflexão interna total. Lentes delgadas e espelhos esféricos obedecem a 1/f = 1/do + 1/di com o aumento m = −di/do. Convenção de sinais: f > 0 para uma lente convergente e um espelho côncavo (f = R/2), f < 0 para uma lente divergente e um espelho convexo; di > 0 para uma imagem real, di < 0 para uma virtual, e m < 0 para uma imagem invertida.
Ângulo crítico na casca
sin θc = 1,59/1,62 = 0,9815 → θc = 78,96°
Abertura numérica
NA = √(1,62² − 1,59²) = 0,3103
Ângulo de aceitação
θa = arcsin(0,3103) = 18,08°
Resposta
θa = 18,08°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics