Molas e pêndulos
- Massa em uma mola
- T = 2π·√(m/k)
- Pêndulo
- T = 2π·√(L/g)
- Frequência angular
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Velocidade e aceleração máximas
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Ondas e Óptica: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 4 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Ondas, som e óptica
- Velocidade da onda
- v = fλ, T = 1/f
- Corda
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Nível sonoro
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Fonte puntiforme
- I = P/(4πr²)
- Ondas estacionárias
- corda ou tubo aberto fn = n·v/(2L); tubo fechado fn = n·v/(4L), n ímpar
- Efeito Doppler
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Índice de refração
- n = c/v, λ = λ0/n
- Lei de Snell
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Ângulo crítico
- sin θc = n2/n1
- Fibra óptica
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Lentes e espelhos
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Fenda dupla
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Rede de difração
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Fenda simples
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Método
- Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
- Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
- Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.
2Exercícios
1.Molas e pêndulosMédia
Uma massa de 1,4 kg presa a uma mola com k = 80 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 20 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 3 cm do equilíbrio.
m = 1,4 kgk = 80 N/mA = 20 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Molas e pêndulosDifícil
Uma massa de 2,2 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 320 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade vmax da massa.
m = 2,2 kgk = 320 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Ondas, som e ópticaMédia
Uma corda fixa nas duas extremidades tem 1 m de comprimento; as ondas viajam nela a 80 m/s. Encontre a frequência f2 do harmônico de ordem 2.
v = 80 m/sn = 2L = 1 m
f2 = Hz
4.Ondas, som e ópticaDifícil
Duas lentes delgadas compartilham um eixo, separadas por 30 cm: a lente 1 com f₁ = 15 cm e a lente 2 com f₂ = 5 cm. Um objeto está a 12 cm na frente da lente 1. Encontre a posição di2 da imagem final medida a partir da lente 2 (positiva além da lente 2, convenção de real positivo).
f1 = 15 cmf2 = 5 cms = 30 cmdo = 12 cm
di2 = cm
3Soluções
1.Molas e pêndulos
Resposta: v = 1,495 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Frequência angular
ω = √(80/1,4) = 7,559 rad/s
Velocidade em x
v = ω·√(A² − x²) = 7,559·√(0,2² − 0,03²) = 1,495 m/s
Resposta
v = 1,495 m/s
2.Molas e pêndulos
Resposta: vmax = 0,8134 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Equilíbrio e amplitude
x₀ = m·g/k = 2,2·9,81/320 = 0,06744 m = A
Maior velocidade
A velocidade é máxima no equilíbrio.
ω = √(320/2,2) = 12,06 rad/s
vmax = A·ω = 0,06744·12,06 = 0,8134 m/s
Resposta
vmax = 0,8134 m/s
3.Ondas, som e óptica
Resposta: f2 = 80 Hz
Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, fn = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.
Comprimento de onda deste modo
λ = 2L/n = 2·1/2 = 1 m
Frequência
f = v/λ = 80/1 = 80 Hz
Resposta
f2 = 80 Hz
4.Ondas, som e óptica
Resposta: di2 = 5,294 cm
Óptica geométrica: numa fronteira, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (lei de Snell), com os ângulos medidos a partir da normal e n = c/v. Ao entrar num meio mais lento, o raio se aproxima da normal. A partir de um meio mais denso (n₁ > n₂), além do ângulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda a luz é refletida: reflexão interna total. Lentes delgadas e espelhos esféricos obedecem a 1/f = 1/do + 1/di com o aumento m = −di/do. Convenção de sinais: f > 0 para uma lente convergente e um espelho côncavo (f = R/2), f < 0 para uma lente divergente e um espelho convexo; di > 0 para uma imagem real, di < 0 para uma virtual, e m < 0 para uma imagem invertida.
Imagem da lente 1
1/di1 = 1/15 − 1/12 → di1 = −60 cm
Objeto para a lente 2
do2 = 30 − (−60) = 90 cm
Imagem final
1/di2 = 1/5 − 1/90 → di2 = 5,294 cm
Resposta
di2 = 5,294 cm
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