Ondas e Óptica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 4 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Molas e pêndulos

Massa em uma mola
T = 2π·√(m/k)
Pêndulo
T = 2π·√(L/g)
Frequência angular
ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidade e aceleração máximas
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energia
E = ½·k·A²

Ondas, som e óptica

Velocidade da onda
v = fλ, T = 1/f
Corda
v = √(T/μ), μ = m/L
Nível sonoro
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Fonte puntiforme
I = P/(4πr²)
Ondas estacionárias
corda ou tubo aberto fn = n·v/(2L); tubo fechado fn = n·v/(4L), n ímpar
Efeito Doppler
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Índice de refração
n = c/v, λ = λ0/n
Lei de Snell
n1sin θ1 = n2sin θ2
Ângulo crítico
sin θc = n2/n1
Fibra óptica
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Lentes e espelhos
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Fenda dupla
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Rede de difração
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Fenda simples
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

  1. Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
  2. Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
  4. Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.

2Exercícios

1.Molas e pêndulosMédia
L = ?

Qual deve ser o comprimento de um pêndulo simples para ter período de 1,7 s? Use g = 9,81 m/s². Calcule L.

T = 1,7 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Molas e pêndulosDifícil
3,5 kgk = 1200 N/m450 m/s

Um projétil de 5 g a 450 m/s atinge e fica alojado em um bloco de 3,5 kg em repouso sobre uma superfície sem atrito. O bloco está preso a uma mola horizontal com k = 1200 N/m. Encontre a amplitude A da oscilação resultante em cm.

m = 5 gv = 450 m/sM = 3,5 kgk = 1200 N/m
A = cm
3.Ondas, som e ópticaMédia
θc = ?90°diamante, n1​ = 2,42ar, n2​ = 1,00

A luz viaja em diamante (n = 2,42) em direção a uma fronteira plana com ar (n = 1,00). Encontre o ângulo crítico θc a partir do qual ela é totalmente refletida.

n1 = 2,42n2 = 1,00
θc = °
4.Ondas, som e ópticaDifícil
SO25 m/sf = 20 kHz

Um sensor de estacionamento em repouso emite ultrassom de 20 kHz em direção a um carro que se aproxima a 25 m/s. Encontre a frequência f″ do eco recebido de volta no sensor (velocidade do som 343 m/s).

f = 20 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s
f″ = Hz

3Soluções

1.Molas e pêndulos

Resposta: L = 0,7181 m

Movimento harmônico simples: uma massa m presa a uma mola de constante elástica k oscila com frequência angular ω = √(k/m) e período T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Um pêndulo simples de comprimento L tem T = 2π·√(L/g). Com amplitude A, a maior velocidade é A·ω, a maior aceleração é A·ω² e a energia é ½·k·A².

Isole o comprimento

L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,7/2π)² = 0,7181 m

Resposta

L = 0,7181 m
2.Molas e pêndulos

Resposta: A = 3,469 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Velocidade após o impacto

V = m·v/(m + M) = 0,005·450/3,505 = 0,6419 m/s

Frequência angular

ω = √(k/(m + M)) = √(1200/3,505) = 18,5 rad/s

Amplitude

A = V/ω = 0,6419/18,5 = 0,03469 m = 3,469 cm

Resposta

A = 3,469 cm
3.Ondas, som e óptica

Resposta: θc = 24,41 °

Óptica geométrica: numa fronteira, n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (lei de Snell), com os ângulos medidos a partir da normal e n = c/v. Ao entrar num meio mais lento, o raio se aproxima da normal. A partir de um meio mais denso (n₁ > n₂), além do ângulo crítico θc = arcsin(n₂/n₁), toda a luz é refletida: reflexão interna total. Lentes delgadas e espelhos esféricos obedecem a 1/f = 1/do + 1/di com o aumento m = −di/do. Convenção de sinais: f > 0 para uma lente convergente e um espelho côncavo (f = R/2), f < 0 para uma lente divergente e um espelho convexo; di > 0 para uma imagem real, di < 0 para uma virtual, e m < 0 para uma imagem invertida.

Refração a 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/2,42 = 0,4132

Ângulo crítico

θc = arcsin(0,4132) = 24,41°

Resposta

θc = 24,41°
4.Ondas, som e óptica

Resposta: f″ = 23145 Hz

Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, fn = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.

Frequência no carro

f′ = 20000·(343 + 25)/343 = 21458 Hz

Frequência do eco

f″ = f′·343/(343 − 25) = 23145 Hz

Resposta

f″ = 23145 Hz

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