Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 33 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 33 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 12 m/s с края крыши на высоте 10 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Через какое время после броска он упадёт на землю? Найдите t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик скользит по горизонтальному полу с начальной скоростью 4,5 m/s и останавливается через 10 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите коэффициент трения скольжения μ.

v₀ = 4,5 m/sd = 10 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 4,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 4 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T нити.

m₁ = 4,5 kgm₂ = 4 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 25° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите наибольшую высоту H, которой достигает мяч.

v₀ = 30 m/sθ = 25°g = 9,81 m/s²

H = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 30 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 35 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 30 m/sθ = 50°h = 35 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

В аттракционе «ротор» посетители стоят у стенки вертикального цилиндра радиусом 2,3 m. Когда он вращается достаточно быстро, пол опускается, и их удерживает трение. Коэффициент трения покоя равен 0,4. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наименьшую частоту вращения n в оборотах в минуту.

r = 2,3 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

n = rpm

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 220 m имеет вираж с уклоном 10°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 220 mθ = 10°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1800 kg въезжает на подъём 3° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 550 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1800 kgθ = 3°F_r = 550 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 2 kg отпускают без начальной скорости на высоте 1 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 1 m (μ = 0,15), а затем наезжает на пружину (k = 500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите наибольшее сжатие x пружины.

m = 2 kgh = 1 mL = 1 mμ = 0,15k = 500 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 12 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 2 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 20 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 12 gM = 2 kgh = 20 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,5 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 40° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 3 kgL = 1,5 mθ = 40°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,2 kg на пружине с k = 50 N/m оттягивают на 5 cm в положительном направлении и отпускают без начальной скорости при t = 0. Найдите его смещение x от положения равновесия при t = 0,8 s (со знаком).

m = 2,2 kgk = 50 N/mA = 5 cmt = 0,8 s

x = cm

14.Пружины и маятникиСложная

Груз массой 0,5 kg на пружине с k = 20 N/m оттягивают на 4 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение a_max.

m = 0,5 kgk = 20 N/mA = 4 cm

a_max = m/s²

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 18,86 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·33/3,5 = 18,86 s

Ответ

t = 18,86 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 66 m/s.

2.Кинематика

Ответ: t = 3,103 s

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Уравнение движения

Вверх — положительное направление, земля находится на h₀ ниже точки броска.

−10 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 10 = 0

Решите квадратное уравнение

Физический смысл имеет только положительный корень.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,103 s

Ответ

t = 3,103 s

3.Законы Ньютона

Ответ: μ = 0,1032

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

a = v₀²/(2d) = 4,5²/(2·10) = 1,012 m/s²

Коэффициент трения

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 1,012/9,81 = 0,1032

Ответ

μ = 0,1032

4.Законы Ньютона

Ответ: T = 27,01 N

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39,24 − 13,24)/8,5 = 3,058 m/s²

Натяжение из уравнения для бруска на столе

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4,5·3,058 + 13,24 = 27,01 N

Ответ

T = 27,01 N

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 8,193 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 25° = 27,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 25° = 12,68 m/s

Высшая точка

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12,68²/(2·9,81) = 8,193 m

Ответ

H = 8,193 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 61,05 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 30·cos 50° = 19,28 m/s

v_y0 = 30·sin 50° = 22,98 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(22,98² + 2·9,81·35) = 34,85 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 34,85/19,28 → α = 61,05°

Ответ

α = 61,05°

7.Движение по окружности

Ответ: n = 31,18 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы, действующие на посетителя

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

Угловая скорость

ω = √(g/(μ·r)) = √(9,81/(0,4·2,3)) = 3,265 rad/s

Частота вращения

n = ω·60/(2π) = 31,18 rpm

Ответ

n = 31,18 rpm

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,9 m/s

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(220·9,81·0,3214/0,9588) = 26,9 m/s

Ответ

v_max = 26,9 m/s

(96,83 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 29,48 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1800·9,81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 3° = 924,1 N

F = 924,1 + 550 = 1474 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 1474·20 = 29483 W = 29,48 kW

Ответ

P = 29,48 kW

10.Работа и энергия

Ответ: x = 25,83 cm

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 19,62·(1 − 0,15·1) = 16,68 J

Наибольшее сжатие

½kx² = 16,68 → x = √(2·16,68/500) = 0,2583 m = 25,83 cm

Ответ

x = 25,83 cm

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 332,1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,2) = 1,981 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,012 + 2)·1,981/0,012 = 332,1 m/s

Ответ

v = 332,1 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 396,2 m/s

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,5·(1 − cos 40°) = 0,3509 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,3509) = 2,624 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 3,02·2,624/0,02 = 396,2 m/s

Ответ

v = 396,2 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: x = −3,912 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(50/2,2) = 4,767 rad/s

ω·t = 4,767·0,8 = 3,814 rad

Перемещение

x = A·cos(ω·t) = 5·cos(3,814) = −3,912 cm

Ответ

x = −3,912 cm

14.Пружины и маятники

Ответ: a_max = 1,6 m/s²

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(20/0,5) = 6,325 rad/s

Наибольшее ускорение

a_max = A·ω² = 0,04·6,325² = 1,6 m/s²

Ответ

a_max = 1,6 m/s²

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice