Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Самолёт трогается с места и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,25 m/s² по взлётной полосе. Найдите его скорость v через 1900 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 1900 m

v = m/s

2.КинематикаСложная

Мяч бросают вертикально вверх со скоростью 9 m/s с края крыши на высоте 40 m над землёй. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max над землёй.

v₀ = 9 m/sh₀ = 40 mg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 14 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 14 kgθ = 40°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 2 kg на наклонной плоскости под углом 35° связан лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения на вершине плоскости, с висящим грузом массой 2,5 kg. Висящий груз движется вниз. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgθ = 35°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бьют с горизонтальной поверхности со скоростью 36 m/s под углом 60° к горизонту в сторону стены, находящейся на расстоянии 92 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². На какой высоте y мяч пролетает у стены?

v₀ = 36 m/sθ = 60°x = 92 mg = 9,81 m/s²

y = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 14 m/s под углом 50° к горизонту с вершины обрыва высотой 25 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту H над землёй у подножия обрыва.

v₀ = 14 m/sθ = 50°h = 25 mg = 9,81 m/s²

H = m

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 100 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 100 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Шарик массой 1,3 kg на лёгкой нити длиной 1,2 m вращают по вертикальной окружности. В нижней точке его скорость 9,5 m/s. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите силу натяжения T_top нити в верхней точке.

m = 1,3 kgr = 1,2 mv_bottom = 9,5 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.Работа и энергияСредняя

Брусок массой 5 kg скользит 14 m по наклонной плоскости под углом 25° к горизонту с коэффициентом трения скольжения 0,35. Найдите работу W_f против силы трения.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0,35d = 14 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Работа и энергияСложная

Брусок массой 4 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5 m на гладкой рампе. Внизу он пересекает шероховатую горизонтальную полосу длиной 2 m (μ = 0,1), а затем наезжает на пружину (k = 2500 N/m) на гладкой поверхности. Найдите скорость v бруска, когда он достигает пружины.

m = 4 kgh = 5 mL = 2 mμ = 0,1k = 2500 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Пуля массой 10 g, выпущенная горизонтально, попадает в деревянный брусок массой 3 kg, подвешенный на лёгких нитях, и застревает в нём. Брусок отклоняется и поднимается на 4 cm выше начального положения. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 10 gM = 3 kgh = 4 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,5 kg ударяется о стену со скоростью 26 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 12 m/s. Контакт длится 25 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,5 kgv_in = 26 m/sv_out = 12 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 2,1 kg на пружине с k = 40 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 12 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 1 cm от положения равновесия.

m = 2,1 kgk = 40 N/mA = 12 cmx = 1 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 12 g, летящая со скоростью 350 m/s, попадает в брусок массой 0,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 700 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 12 gv = 350 m/sM = 0,5 kgk = 700 N/m

A = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: v = 111,1 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Скорость после пройденного пути

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·1900) = 111,1 m/s

Ответ

v = 111,1 m/s

(400,1 km/h)

2.Кинематика

Ответ: h_max = 44,13 m

Движение с постоянным ускорением: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² и v² = v₀² + 2·a·s. Выберите уравнение, в которое входят три известные величины и искомая, и следите за знаками относительно одного положительного направления.

Подъём над крышей

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 9²/(2·9,81) = 4,128 m

Высота над землёй

h_max = 40 + 4,128 = 44,13 m

Ответ

h_max = 44,13 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 5,179 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,15·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1149) = 5,179 m/s²

Ответ

a = 5,179 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 2,592 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль нити

m₂·g = 24,53 N

m₁·g·sin θ = 11,25 N

μ·m₁·g·cos θ = 1,607 N

Ускорение системы

a = (24,53 − 11,25 − 1,607)/4,5 = 2,592 m/s²

Ответ

a = 2,592 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: y = 31,21 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Время до стены

v_x = 36·cos 60° = 18 m/s

t = x/v_x = 92/18 = 5,111 s

Высота в этот момент

y = 31,18·5,111 − ½·9,81·5,111² = 31,21 m

Ответ

y = 31,21 m

У стены мяч уже опускается.

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: H = 30,86 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Вертикальная начальная скорость

v_y = 14·sin 50° = 10,72 m/s

Подъём над обрывом

Δh = v_y²/(2g) = 10,72²/(2·9,81) = 5,862 m

Высота над землёй

H = 25 + 5,862 = 30,86 m

Ответ

H = 30,86 m

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 24,26 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·100) = 24,26 m/s

Ответ

v_max = 24,26 m/s (87,34 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: T_top = 34,01 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Скорость в верхней точке

Кинетическая энергия переходит в потенциальную на высоте 2r.

v_top² = 9,5² − 4·9,81·1,2 = 43,16 m²/s²

Силы в верхней точке

Сила натяжения и сила тяжести обе направлены вниз, к центру.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,3·43,16/1,2 − 1,3·9,81 = 34,01 N

Ответ

T_top = 34,01 N

9.Работа и энергия

Ответ: W_f = 217,8 J

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Сила трения

N = mg·cos θ = 49,05·0,9063 = 44,45 N

F = μN = 0,35·44,45 = 15,56 N

Работа против трения

W_f = F·d = 15,56·14 = 217,8 J

Ответ

W_f = 217,8 J

10.Работа и энергия

Ответ: v = 9,704 m/s

Энергия после шероховатой полосы

Рампа гладкая, поэтому энергию забирает только полоса.

mgh − μmgL = 39,24·(5 − 0,1·2) = 188,4 J

Скорость у пружины

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,8) = 9,704 m/s

Ответ

v = 9,704 m/s

11.Импульс и столкновения

Ответ: v = 266,7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Отклонение после удара

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,04) = 0,8859 m/s

Столкновение

m·v = (m + M)·V → v = (0,01 + 3)·0,8859/0,01 = 266,7 m/s

Ответ

v = 266,7 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 760 N

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,5·(12 + 26) = 19 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 19/0,025 = 760 N

Ответ

F_avg = 760 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,5219 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(40/2,1) = 4,364 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 4,364·√(0,12² − 0,01²) = 0,5219 m/s

Ответ

v = 0,5219 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 22,19 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,012·350/0,512 = 8,203 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(700/0,512) = 36,98 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 8,203/36,98 = 0,2219 m = 22,19 cm

Ответ

A = 22,19 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice