Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Автомобиль, превышающий скорость, движется с постоянной скоростью 28 m/s и проезжает мимо стоящего полицейского автомобиля. В этот момент полицейский автомобиль трогается и равноускоренно разгоняется с ускорением 3,5 m/s². Через сколько времени полицейский автомобиль догонит нарушителя? Найдите t.

v_car = 28 m/sa_police = 3,5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.КинематикаСложная

Камень без начальной скорости падает в колодец. Всплеск слышен через 3,1 s после того, как камень отпустили. Скорость звука 343 m/s; пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите глубину d колодца.

t_total = 3,1 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.Законы НьютонаСредняя

Ящик массой 25 kg толкают вверх по наклонной плоскости под углом 20° к горизонту с постоянной скоростью силой, параллельной плоскости. Коэффициент трения скольжения равен 0,3. Примите g = 9,81 m/s². Найдите толкающую силу F.

m = 25 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

F = N

4.Законы НьютонаСложная

Брусок массой 8,5 kg на горизонтальном столе соединён лёгкой нитью, перекинутой через блок без трения, с подвешенным грузом массой 2,5 kg. Коэффициент трения скольжения между бруском и столом 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a системы.

m₁ = 8,5 kgm₂ = 2,5 kgμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают под углом 45° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.

v₀ = 32 m/sθ = 45°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают под углом 55° к горизонту с вершины скалы высотой 50 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.

v₀ = 23 m/sθ = 55°h = 50 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль массой 1300 kg переезжает вершину бугра на дороге со скоростью 13 m/s. Вершина бугра — дуга окружности радиусом 100 m. Примите g = 9,81 m/s². Найдите силу нормальной реакции N дороги на автомобиль на вершине.

m = 1300 kgv = 13 m/sr = 100 mg = 9,81 m/s²

N = N

8.Движение по окружностиСложная

Небольшую тележку отпускают без начальной скорости на трассе без трения, и она въезжает в вертикальную петлю радиусом 0,5 m. С какой наименьшей высоты h_min над нижней точкой петли она должна стартовать, чтобы удержаться на трассе в верхней точке петли?

R = 0,5 mv₀ = 0

h_min = m

9.Работа и энергияСредняя

Брусок без начальной скорости скользит по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,3. Найдите его скорость v после того, как он проскользит 14 m вдоль плоскости.

θ = 40°μ = 0,3d = 14 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.Работа и энергияСложная

Тележку массой 10 kg отпускают без начальной скорости на высоте 5,2 m на гладкой трассе, переходящей в вертикальную «мёртвую петлю» радиусом 2 m. Найдите скорость v тележки в верхней точке петли.

m = 10 kgh = 5,2 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 5 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 1,5 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₂ второй тележки после столкновения.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 1,5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Пуля массой 5 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 1 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 1,8 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 30° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 5 gM = 1 kgL = 1,8 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.Пружины и маятникиСредняя

Астронавт на другой планете обнаруживает, что математический маятник длиной 1,6 m имеет период малых колебаний 4,12 s. Найдите ускорение свободного падения g на этой планете.

L = 1,6 mT = 4,12 s

g = m/s²

14.Пружины и маятникиСложная

Тело совершает гармонические колебания с периодом 3,6 s и амплитудой 17 cm. За какое наименьшее время t оно переместится из точки наибольшего смещения 17 cm в точку со смещением 5,1 cm?

T = 3,6 sA = 17 cmx = 5,1 cm

t = s

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: t = 16 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Равные пути

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/3,5 = 16 s

Ответ

t = 16 s

В этот момент полицейский автомобиль движется со скоростью 2v = 56 m/s.

2.Кинематика

Ответ: d = 43,37 m

Две части времени

½·9,81·t₁² = 343·(3,1 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1063 = 0

Время падения

Физический смысл имеет только положительный корень.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1063))/(2·4,905) = 2,974 s

Глубина

d = ½·9,81·2,974² = 43,37 m

Ответ

d = 43,37 m

3.Законы Ньютона

Ответ: F = 153 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Силы вдоль плоскости

Постоянная скорость: силы уравновешены.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

Толкающая сила

F = 83,88 + 69,14 = 153 N

Ответ

F = 153 N

4.Законы Ньютона

Ответ: a = 0,7135 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Ускорение системы

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24,53 − 16,68)/11 = 0,7135 m/s²

Ответ

a = 0,7135 m/s²

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: x = 104,4 m

Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = v_xt и y = h + v_yt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 45° = 22,63 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 45° = 22,63 m/s

Время полёта

Старт и приземление на одной высоте: t = 2v_y/g.

t = 2·22,63/9,81 = 4,613 s

Горизонтальное расстояние

x = v_x·t = 22,63·4,613 = 104,4 m

Ответ

x = 104,4 m

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: t = 5,646 s

Разложите начальную скорость

Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 55° = 13,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 55° = 18,84 m/s

Время полёта

Решите y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.

0 = 50 + 18,84·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18,84 + √(355 + 981))/9,81 = 5,646 s

Ответ

t = 5,646 s

7.Движение по окружности

Ответ: N = 10556 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Силы в верхней точке

Направление к центру (вниз) положительно.

m·g − N = m·v²/r

N = 1300·9,81 − 1300·13²/100 = 12753 − 2197 = 10556 N

Ответ

N = 10556 N

Автомобиль становится «легче»: дорога давит вверх с силой меньше его веса.

8.Движение по окружности

Ответ: h_min = 1,25 m

Условие в верхней точке

m·g = m·v²/R → v² = g·R

Закон сохранения энергии

g·h = g·2R + ½·g·R → h = 2,5·R = 2,5·0,5 = 1,25 m

Ответ

h_min = 1,25 m

9.Работа и энергия

Ответ: v = 10,65 m/s

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d).

Энергетический баланс вдоль плоскости

Брусок опускается на высоту d·sin θ, а трение забирает μmg·cos θ·d. Масса сокращается.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·14·(0,6428 − 0,3·0,766)) = 10,65 m/s

Ответ

v = 10,65 m/s

10.Работа и энергия

Ответ: v = 4,852 m/s

Скорость в верхней точке

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(5,2 − 4) = 23,54 m²/s²

v = 4,852 m/s

Ответ

v = 4,852 m/s

Тележка едва проходит петлю при h = 2,5R; тогда в верхней точке N = 0.

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₂ = 6,25 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 1,5)/(2,5 + 1,5)·5 = 1,25 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 1,5)·5 = 6,25 m/s

Ответ

v′₂ = 6,25 m/s

12.Импульс и столкновения

Ответ: v = 437,2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 1,8·(1 − cos 30°) = 0,2412 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,2412) = 2,175 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 1,005·2,175/0,005 = 437,2 m/s

Ответ

v = 437,2 m/s

13.Пружины и маятники

Ответ: g = 3,721 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Находим g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,6/4,12² = 3,721 m/s²

Ответ

g = 3,721 m/s²

14.Пружины и маятники

Ответ: t = 0,7254 s

Угловая частота

ω = 2π/T = 2π/3,6 = 1,745 rad/s

Выразите время

0,3 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,3) = 1,266 rad

t = 1,266/1,745 = 0,7254 s

Ответ

t = 0,7254 s

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice