Задачи для подготовки к AP Physics 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Кинематика

Скорость: v = v₀ + a·t
Перемещение: s = v₀·t + ½·a·t²
Без времени: v² = v₀² + 2·a·s
Единицы: 1 m/s = 3,6 km/h

Метод

Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Законы Ньютона

Второй закон: ΣF = m·a
Вес: W = m·g
Трение скольжения: F_f = μ·N
На наклонной плоскости: вдоль: m·g·sin θ, по нормали: m·g·cos θ

Метод

Нарисуйте расчётную схему со всеми силами, действующими на тело.
Выберите положительное направление вдоль движения.
Разложите силы на составляющие вдоль движения и перпендикулярно ему (на наклонной плоскости: m·g·sin θ вдоль, m·g·cos θ перпендикулярно плоскости).
Примените ΣF = m·a вдоль движения; трение равно μ·N и направлено против движения.

Движение тела, брошенного под углом

Составляющие: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Положение: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Максимальная высота: H = h + v_y²/(2g)
Дальность (ровная поверхность): R = v₀²·sin 2θ/g

Метод

Разложите начальную скорость на составляющие: v_x = v₀·cos θ и v_y = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.

Движение по окружности

Центростремительное ускорение: a = v²/r = ω²·r
Центростремительная сила: F = m·v²/r
Угловая скорость: ω = v/r = 2π/T
Горизонтальный поворот, трение: v_max = √(μ·g·r)

Работа и энергия

Кинетическая энергия: E_k = ½mv²
Потенциальная энергия: E_p = mgh
Энергетический баланс: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Работа силы трения: W = μ·N·d
Мощность: P = W/t

Импульс и столкновения

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Метод

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Пружины и маятники

Груз на пружине: T = 2π·√(m/k)
Маятник: T = 2π·√(L/g)
Угловая частота: ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Энергия: E = ½·k·A²

2Тренировочные задачи

1.КинематикаСредняя

Водитель, едущий со скоростью 60 km/h, видит препятствие. Время её реакции 1,5 s, после чего автомобиль тормозит с постоянным замедлением 8 m/s². Найдите полный остановочный путь d с момента, когда она увидела препятствие.

v₀ = 60 km/ht_r = 1,5 sa = −8 m/s²

d = m

2.КинематикаСложная

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 30 m/s², направленное вверх, в течение 1,5 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту h_max, которой достигает ракета.

a = 30 m/s²t₁ = 1,5 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Законы НьютонаСредняя

Брусок массой 9 kg скользит вниз по наклонной плоскости под углом 40° к горизонту. Коэффициент трения скольжения 0,25. Примите g = 9,81 m/s². Найдите ускорение a бруска вдоль плоскости.

m = 9 kgθ = 40°μ = 0,25g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.Законы НьютонаСложная

Бруску сообщают толчок, и он начинает скользить вверх по наклонной плоскости под углом 35° со скоростью 8 m/s. Коэффициент трения скольжения равен 0,2. Примите g = 9,81 m/s². Какое расстояние d вдоль плоскости он проскользит до остановки?

v₀ = 8 m/sθ = 35°μ = 0,2g = 9,81 m/s²

d = m

5.Движение тела, брошенного под угломСредняя

Мяч бросают с горизонтальной поверхности под углом 15° к горизонту, и он падает на расстоянии 135 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v₀.

θ = 15°R = 135 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.Движение тела, брошенного под угломСложная

Мяч бросают со скоростью 33 m/s под углом 40° к горизонту с вершины обрыва высотой 20 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Под каким углом α к горизонту (ниже горизонта) он ударяется о землю?

v₀ = 33 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.Движение по окружностиСредняя

Автомобиль проходит горизонтальный поворот радиусом 115 m. Коэффициент трения покоя между шинами и дорогой 0,6. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, с которой автомобиль может пройти поворот без заноса.

r = 115 mμ_s = 0,6g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.Движение по окружностиСложная

Поворот радиусом 140 m имеет вираж с уклоном 10°, коэффициент трения покоя между шинами и дорогой равен 0,15. Примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую скорость v_max, при которой автомобиль может пройти поворот, не соскальзывая вверх и наружу.

r = 140 mθ = 10°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.Работа и энергияСредняя

Автомобиль массой 1000 kg въезжает на подъём 8° с постоянной скоростью 72 km/h. Сопротивление воздуха и сопротивление качению вместе составляют 650 N. Найдите мощность P, которую должны развивать колёса, в kW.

m = 1000 kgθ = 8°F_r = 650 Nv = 72 km/hg = 9,81 m/s²

P = kW

10.Работа и энергияСложная

Пружину жёсткостью 500 N/m у основания наклонной плоскости 25° сжимают на 20 cm бруском массой 5 kg и отпускают. Коэффициент трения скольжения между бруском и плоскостью равен 0,1. Какое расстояние d пройдёт брусок вверх по плоскости от точки отпускания до остановки? (Пренебрегите коротким участком, на котором толкает пружина, т. е. учитывайте трение и силу тяжести на всём расстоянии d.)

m = 5 kgk = 500 N/mx = 20 cmθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

d = m

11.Импульс и столкновенияСредняя

Тележка массой 2,5 kg, движущаяся со скоростью 12 m/s, испытывает абсолютно упругий центральный удар с покоящейся тележкой массой 4 kg на дорожке без трения. Найдите скорость v′₁ первой тележки после столкновения (положительную в направлении её первоначального движения).

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.Импульс и столкновенияСложная

Мяч массой 0,45 kg ударяется о стену со скоростью 15 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 20 m/s. Контакт длится 40 ms. Найдите среднюю силу F_avg, с которой стена действует на мяч.

m = 0,45 kgv_in = 15 m/sv_out = 20 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.Пружины и маятникиСредняя

Груз массой 0,9 kg на пружине с k = 280 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 6 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 3 cm от положения равновесия.

m = 0,9 kgk = 280 N/mA = 6 cmx = 3 cm

v = m/s

14.Пружины и маятникиСложная

Пуля массой 15 g, летящая со скоростью 300 m/s, попадает в брусок массой 1,5 kg, лежащий на поверхности без трения, и застревает в нём. Брусок прикреплён к горизонтальной пружине с k = 2000 N/m. Найдите амплитуду A возникающих колебаний в cm.

m = 15 gv = 300 m/sM = 1,5 kgk = 2000 N/m

A = cm

3Растворы

1.Кинематика

Ответ: d = 42,36 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v₀ = 60/3,6 = 16,67 m/s

Путь за время реакции

d₁ = v₀·t_r = 16,67·1,5 = 25 m

Тормозной путь

d₂ = v₀²/(2a) = 16,67²/(2·8) = 17,36 m

Итого

d = 25 + 17,36 = 42,36 m

Ответ

d = 42,36 m

2.Кинематика

Ответ: h_max = 137 m

Активный участок

v₁ = 30·1,5 = 45 m/s

h₁ = ½·30·1,5² = 33,75 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 45²/(2·9,81) = 103,2 m

h_max = 33,75 + 103,2 = 137 m

Ответ

h_max = 137 m

3.Законы Ньютона

Ответ: a = 4,427 m/s²

Второй закон Ньютона: равнодействующая сил, действующих на тело, равна произведению его массы на ускорение, ΣF = m·a. Нарисуйте расчётную схему, выберите положительное направление вдоль движения и сложите все силы в этом направлении: приложенные силы, трение μ·N против движения и составляющие силы тяжести.

Силы вдоль плоскости

Вниз по плоскости — положительное направление.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

Ускорение

a = 9,81·(sin 40° − 0,25·cos 40°) = 9,81·(0,6428 − 0,1915) = 4,427 m/s²

Ответ

a = 4,427 m/s²

4.Законы Ньютона

Ответ: d = 4,424 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Замедление

Обе силы направлены вниз по склону; масса сокращается.

a = 9,81·(sin 35° + 0,2·cos 35°) = 7,234 m/s²

Путь

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·7,234) = 4,424 m

Ответ

d = 4,424 m

5.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: v₀ = 51,47 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Выражаем v₀ из формулы дальности

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·135/sin 30°) = 51,47 m/s

Ответ

v₀ = 51,47 m/s

6.Движение тела, брошенного под углом

Ответ: α = 48,94 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

Разложите начальную скорость

v_x = 33·cos 40° = 25,28 m/s

v_y0 = 33·sin 40° = 21,21 m/s

Вертикальная скорость при ударе

Закон сохранения энергии или v² = v₀² + 2as по вертикали.

v_y = √(21,21² + 2·9,81·20) = 29,02 m/s

Угол падения

tan α = v_y/v_x = 29,02/25,28 → α = 48,94°

Ответ

α = 48,94°

7.Движение по окружности

Ответ: v_max = 26,02 m/s

Равномерное движение по окружности: тело, движущееся со скоростью v по окружности радиуса r, имеет ускорение a = v²/r, направленное к центру, поэтому на него должна действовать направленная к центру равнодействующая сила F = m·v²/r. Эту силу создаёт что-то реальное: трение, натяжение, сила тяжести или сила нормальной реакции.

Трение создаёт центростремительную силу

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,6·9,81·115) = 26,02 m/s

Ответ

v_max = 26,02 m/s (93,66 km/h)

8.Движение по окружности

Ответ: v_max = 21,46 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Балансы сил

Трение направлено вниз по склону.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

Скорость

v = √(140·9,81·0,3214/0,9588) = 21,46 m/s

Ответ

v_max = 21,46 m/s

(77,24 km/h)

9.Работа и энергия

Ответ: P = 40,31 kW

Теорема об изменении кинетической энергии: изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если записать тяжесть и пружины как потенциальную энергию (mgh и ½kx²), получается баланс: начальная энергия = конечная энергия + энергия, потерянная на трение (μN·d). Мощность — это сила, умноженная на скорость: P = F·v.

Сила тяги

m·g = 1000·9,81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 8° = 1365 N

F = 1365 + 650 = 2015 N

Мощность

v = 72/3,6 = 20 m/s

P = F·v = 2015·20 = 40306 W = 40,31 kW

Ответ

P = 40,31 kW

10.Работа и энергия

Ответ: d = 0,3972 m

Энергия пружины

x = 20 cm = 0,2 m

½kx² = ½·500·0,2² = 10 J

Энергетический баланс вдоль плоскости

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(49,05·(0,4226 + 0,1·0,9063)) = 0,3972 m

Ответ

d = 0,3972 m

11.Импульс и столкновения

Ответ: v′₁ = −2,769 m/s

Закон сохранения импульса: если во время столкновения внешние силы не действуют, суммарный импульс Σm·v до столкновения равен суммарному импульсу после. Скорость имеет направление, поэтому выберите положительное направление и скорости, направленные в противоположную сторону, берите со знаком минус. При упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия; при абсолютно неупругом тела слипаются.

Упругий удар о покоящееся тело

Совместное решение уравнений сохранения импульса и энергии даёт эти два результата.

v′₁ = (2,5 − 4)/(2,5 + 4)·12 = −2,769 m/s

v′₂ = 2·2,5/(2,5 + 4)·12 = 9,231 m/s

Ответ

v′₁ = −2,769 m/s

Знак минус означает, что первая тележка отскакивает назад.

12.Импульс и столкновения

Ответ: F_avg = 393,8 N

Изменение импульса

J = m·Δv = 0,45·(20 + 15) = 15,75 N·s

Средняя сила

F_avg = J/Δt = 15,75/0,04 = 393,8 N

Ответ

F_avg = 393,8 N

13.Пружины и маятники

Ответ: v = 0,9165 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(280/0,9) = 17,64 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 17,64·√(0,06² − 0,03²) = 0,9165 m/s

Ответ

v = 0,9165 m/s

14.Пружины и маятники

Ответ: A = 8,175 cm

Скорость после удара

V = m·v/(m + M) = 0,015·300/1,515 = 2,97 m/s

Угловая частота

ω = √(k/(m + M)) = √(2000/1,515) = 36,33 rad/s

Амплитуда

A = V/ω = 2,97/36,33 = 0,08175 m = 8,175 cm

Ответ

A = 8,175 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/ap-physics-1-practice