Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (4x² − 4x + 4)/(3x² + x + 1).

f(x) = (4x² − 4x + 4)/(3x² + x + 1)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (4x + 3)⁴. Найдите f′(−1).

f(x) = (4x + 3)⁴x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 6. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x + 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 108000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 108000 cm³

S = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 120 − 0,2q евро за единицу, а затраты C(q) = 800 + 65q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 120 − 0,2qC = 800 + 65q

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/3 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 3x.

y = 0,5x²y = 3x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(4 + (−4)/x + 4/x²)/(3 + 1/x + 1/x²)

Пусть x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Ответ

L = 1,333

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −16

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(4x + 3)³·4

Подставьте

f′(−1) = 4·(−1)³·4 = −16

Ответ

f′(−1) = −16

4.Производные

Ответ: x = 4

Производная

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 4

Что есть что

f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 4

Ответ

x = 4

5.Оптимизация

Ответ: S = 10800 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 432000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Высота и площадь

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Ответ

S = 10800 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 2981 €

Функция прибыли

P(q) = (120 − 0,2q)·q − (800 + 65q) = −0,2q² + 55q − 800

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

q = 55/0,4 = 137,5

Цена и прибыль

p = 120 − 0,2·137,5 = €92,5

P = 55·137,5 − 0,2·137,5² − 800 = €2981

Ответ

P = €2981

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3424

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0,3424

Ответ

I = 0,3424

8.Интегралы

Ответ: A = 18

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x² = 3x → x = 0, x = 6

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,1667x³]₀⁶ = 18

Ответ

A = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1