Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² − 7x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 7x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^2x. Найдите f′(2).

f(x) = x³·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 3x² − 9x + 6. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x³ + 3x² − 9x + 6

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 330 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 330 cm³

r = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €75 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 100 + 60q + 0,25q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €75C = 100 + 60q + 0,25q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 6x и параболой y = 3x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 6xy = 3x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,167

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −7x/(√(9x² − 7x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = −7/(√(9 + (−7)/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = −7/(3 + 3) = −1,167

Ответ

L = −1,167

2.Пределы

Ответ: L = 12,5

Первое применение

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Второе применение

25·cos 5x/2

Подставьте x = 0

L = 25/2 = 12,5

Ответ

L = 12,5

3.Производные

Ответ: f′(2) = 1529

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Подставьте

f′(2) = 54,6·(12 + 16) = 1529

Ответ

f′(2) = 1529

4.Производные

Ответ: x = −3

Производная

f′(x) = 3x² + 6x − 9 = 3·(x² + 2x − 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x + 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12

x = −3

Ответ

x = −3

5.Оптимизация

Ответ: r = 3,745 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Высота и площадь

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Ответ

r = 3,745 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 30 ед.

Функция прибыли

P(q) = 75q − (100 + 60q + 0,25q²) = −0,25q² + 15q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

15 − 0,5q = 0 → q = 30

Максимальная прибыль

P = 15·30 − 0,25·30² − 100 = €125

Ответ

q = 30

7.Интегралы

Ответ: I = 3,142

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π·cos π + sin π) − (0 + 0) = 3,142

Ответ

I = 3,142

8.Интегралы

Ответ: V = 120,6

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

6x = 3x² → x = 0, x = 2

Метод колец (шайб)

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

Ответ

V = 120,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1