Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−2x² + 6x − 3)/(3x² + 2x + 5).

f(x) = (−2x² + 6x − 3)/(3x² + 2x + 5)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x²·e^−0,5x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² − 4x − 3 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² − 4x − 3x = 2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 600 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 600 m²€30/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €70 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 500 + 22q + 0,25q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €70C = 500 + 22q + 0,25q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 5x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 5xy = 2x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,6667

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−2 + 6/x + (−3)/x²)/(3 + 2/x + 5/x²)

Пусть x → ∞

L = −2/3 = −0,6667

Ответ

L = −0,6667

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 12,5

Первое применение

5·sin 5x/(2x) → 0/0

Второе применение

25·cos 5x/2

Подставьте x = 0

L = 25/2 = 12,5

Ответ

L = 12,5

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 0,6815

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Подставьте

f′(0,5) = 0,7788·(1 + (−0,125)) = 0,6815

Ответ

f′(0,5) = 0,6815

4.Производные

Ответ: b = −7

Точка и наклон

f(2) = −7

f′(x) = 2x − 4 → f′(2) = 0

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − 0·2 = −7

Ответ

b = −7

5.Оптимизация

Ответ: C = 916,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 6000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6000/35) = 13,09 m

y = 600/13,09 = 45,83 m

Минимальная стоимость

C = 35·13,09 + 6000/13,09 = €916,5

Ответ

C = €916,5

6.Оптимизация

Ответ: P = 1804 €

Функция прибыли

P(q) = 70q − (500 + 22q + 0,25q²) = −0,25q² + 48q − 500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

48 − 0,5q = 0 → q = 96

Максимальная прибыль

P = 48·96 − 0,25·96² − 500 = €1804

Ответ

P = €1804

7.Интегралы

Ответ: I = 1

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Ответ

I = 1

8.Интегралы

Ответ: V = 163,6

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Метод колец (шайб)

V = π∫₀^2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Ответ

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1