Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² − 8x) − 3x).

f(x) = √(9x² − 8x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^−x. Найдите f′(1,5).

f(x) = x³·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = x² + x в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x² + xx = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 330 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 330 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 480 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 20 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 20 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

480 × €2020 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = 4x.

y = x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −8x/(√(9x² − 8x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = −8/(√(9 + (−8)/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = −8/(3 + 3) = −1,333

Ответ

L = −1,333

2.Пределы

Ответ: L = 1,333

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

Подставьте x = 0

L = 4/3 = 1,333

Ответ

L = 1,333

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = 0,7531

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Подставьте

f′(1,5) = 0,2231·(6,75 + (−3,375)) = 0,7531

Ответ

f′(1,5) = 0,7531

4.Производные

Ответ: b = −1

Точка и наклон

f(1) = 2

f′(x) = 2x + 1 → f′(1) = 3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 3·1 = −1

Ответ

b = −1

5.Оптимизация

Ответ: A = 264,4 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Высота и площадь

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Ответ

A = 264,4 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 22 €

Выручка как функция цены

n(p) = 880 − 20p

R(p) = 880p − 20p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −40 < 0, поэтому это максимум.

p = 880/40 = €22

Максимальная выручка

n = 880 − 20·22 = 440

R = 22·440 = €9680

Ответ

p = €22

7.Интегралы

Ответ: I = 0,8647

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Ответ

I = 0,8647

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Точки пересечения

x² = 4x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,3333x³]₀⁴ = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1