Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−2x² + x + 6)/(5x² + x + 6).

f(x) = (−2x² + x + 6)/(5x² + x + 6)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + x − 3 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + x − 3x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 450 m²€30/m€5/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €35 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1100 + 20q + 0,01q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €35C = 1100 + 20q + 0,01q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁵ 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−2 + 1/x + 6/x²)/(5 + 1/x + 6/x²)

Пусть x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Ответ

L = −0,4

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Первое применение

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e^1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = −1,926

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Ответ

f′(1,5) = −1,926

4.Производные

Ответ: b = −5

Точка и наклон

f(−1) = −2

f′(x) = 4x + 1 → f′(−1) = −3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−3)·(−1) = −5

Ответ

b = −5

5.Оптимизация

Ответ: x = 11,34 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 4500/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 9000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4500/35) = 11,34 m

y = 450/11,34 = 39,69 m

Минимальная стоимость

C = 35·11,34 + 4500/11,34 = €793,7

Ответ

x = 11,34 m

6.Оптимизация

Ответ: q = 750 ед.

Функция прибыли

P(q) = 35q − (1100 + 20q + 0,01q²) = −0,01q² + 15q − 1100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,02 < 0, поэтому это максимум.

15 − 0,02q = 0 → q = 750

Максимальная прибыль

P = 15·750 − 0,01·750² − 1100 = €4525

Ответ

q = 750

7.Интегралы

Ответ: I = 4,828

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 3·ln x

Подставьте пределы

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Ответ

I = 4,828

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1