Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−4x2 + 3x + 6)/(5x2 + 4x + 7).

f(x) = (−4x2 + 3x + 6)/(5x2 + 4x + 7)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 4x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x·sin(x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 2

Касательная к f(x) = 3x2 + 5x − 4 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 3x2 + 5x − 4x = 2
b =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €30/m€10/myyx

Прямоугольный участок площадью 300 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 300 m²€30/m€10/m
x = m
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €40 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1000 + 14q + 0,05q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €40C = 1000 + 14q + 0,05q²
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy15

Вычислите I = ∫15 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 5]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−11

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,8

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−4 + 3/x + 6/x2)/(5 + 4/x + 7/x2)

Пусть x → ∞

L = −4/5 = −0,8

Ответ

L = −0,8

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/8

Подставьте x = 0

L = 16/8 = 2

Ответ

L = 2
3.Производные

Ответ: f′(2) = 0,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Подставьте

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Ответ

f′(2) = 0,077
4.Производные

Ответ: b = −16

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(2) = 18
f′(x) = 6x + 5 → f′(2) = 17

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 18 − 17·2 = −16

Ответ

b = −16
5.Оптимизация

Ответ: x = 12,25 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 40x + 6000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 12000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(6000/40) = 12,25 m
y = 300/12,25 = 24,49 m

Минимальная стоимость

C = 40·12,25 + 6000/12,25 = €979,8

Ответ

x = 12,25 m
6.Оптимизация

Ответ: q = 260 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 40q − (1000 + 14q + 0,05q²) = −0,05q2 + 26q − 1000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,1 < 0, поэтому это максимум.

26 − 0,1q = 0 → q = 260

Максимальная прибыль

P = 26·260 − 0,05·260² − 1000 = €2380

Ответ

q = 260
7.Интегралы

Ответ: I = 3,219

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 2·ln x

Подставьте пределы

I = 2·(ln 5 − ln 1) = 2·ln 5 = 3,219

Ответ

I = 3,219
8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]−11 = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1