Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−2x³ − 5x + 4)/(2x³ + 6x + 9).

f(x) = (−2x³ − 5x + 4)/(2x³ + 6x + 9)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(3x² + 4). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(3x² + 4)x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 5. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 4,5x² + 6x − 5

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 32000 cm³

S = cm²

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 925 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

925 × €1525 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 1 − x² и осью x.

y = 1 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−2 + (−5)/x² + 4/x³)/(2 + 6/x² + 9/x³)

Пусть x → ∞

L = −2/2 = −1

Ответ

L = −1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/8

Подставьте x = 0

L = 16/8 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(−1) = −0,8571

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Подставьте

f′(−1) = −6/7 = −0,8571

Ответ

f′(−1) = −0,8571

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: S = 4800 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 128000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Высота и площадь

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Ответ

S = 4800 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 26 €

Выручка как функция цены

n(p) = 1300 − 25p

R(p) = 1300p − 25p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −50 < 0, поэтому это максимум.

p = 1300/50 = €26

Максимальная выручка

n = 1300 − 25·26 = 650

R = 26·650 = €16900

Ответ

p = €26

7.Интегралы

Ответ: I = 1

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Ответ

I = 1

8.Интегралы

Ответ: A = 1,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

1 − x² = 0 → x = ±1

Интегрируйте

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Ответ

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1