Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^3x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 1/x)^3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^2x. Найдите f′(1).

f(x) = x·e^2xx = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 3x² − 5x − 6 в точке x = 3 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 3x² − 5x − 6x = 3

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 500 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 1440 билетов на спектакль по €12 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 40 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 40 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

1440 × €1240 / €1

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 20,09

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·1 = 3

Избавьтесь от логарифма

L = e³ = 20,09

Ответ

L = 20,09

2.Пределы

Ответ: L = 4

Первое применение

4·sin 4x/(4x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/4

Подставьте x = 0

L = 16/4 = 4

Ответ

L = 4

3.Производные

Ответ: f′(1) = 22,17

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Подставьте

f′(1) = 7,389·(1 + 2) = 22,17

Ответ

f′(1) = 22,17

4.Производные

Ответ: b = −33

Точка и наклон

f(3) = 6

f′(x) = 6x − 5 → f′(3) = 13

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 13·3 = −33

Ответ

b = −33

5.Оптимизация

Ответ: h = 5 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Высота и площадь

h = 500/10² = 5 cm

S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Ответ

h = 5 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 24 €

Выручка как функция цены

n(p) = 1920 − 40p

R(p) = 1920p − 40p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −80 < 0, поэтому это максимум.

p = 1920/80 = €24

Максимальная выручка

n = 1920 − 40·24 = 960

R = 24·960 = €23040

Ответ

p = €24

7.Интегралы

Ответ: I = 2,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

Ответ

I = 2,333

8.Интегралы

Ответ: A = 42,67

Точки пересечения

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Ответ

A = 42,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1