Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−5x² + 2x + 4)/(3x² + 4x + 8).

f(x) = (−5x² + 2x + 4)/(3x² + 4x + 8)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(4x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(4x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (4x + 5)³. Найдите f′(0).

f(x) = (4x + 5)³x = 0

f′(0) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² − 2x − 6 в точке x = 3 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² − 2x − 6x = 3

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 250 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 250 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 100 − 0,2q евро за единицу, а затраты C(q) = 4100 + 10q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 100 − 0,2qC = 4100 + 10q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,667

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−5 + 2/x + 4/x²)/(3 + 4/x + 8/x²)

Пусть x → ∞

L = −5/3 = −1,667

Ответ

L = −1,667

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,25

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[4·cos 4x]

Подставьте x = 0

L = 5/4 = 1,25

Ответ

L = 1,25

3.Производные

Ответ: f′(0) = 300

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(4x + 5)²·4

Подставьте

f′(0) = 3·5²·4 = 300

Ответ

f′(0) = 300

4.Производные

Ответ: b = −24

Точка и наклон

f(3) = 6

f′(x) = 4x − 2 → f′(3) = 10

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − 10·3 = −24

Ответ

b = −24

5.Оптимизация

Ответ: h = 6,828 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Высота и площадь

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Ответ

h = 6,828 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 225 ед.

Функция прибыли

P(q) = (100 − 0,2q)·q − (4100 + 10q) = −0,2q² + 90q − 4100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

q = 90/0,4 = 225

Цена и прибыль

p = 100 − 0,2·225 = €55

P = 90·225 − 0,2·225² − 4100 = €6025

Ответ

q = 225

7.Интегралы

Ответ: I = 3,195

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^2x/2

Подставьте пределы

I = (e² − 1)/2 = (7,389 − 1)/2 = 3,195

Ответ

I = 3,195

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1