Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (x3 + 6x − 5)/(2x3 + 4x + 2).

f(x) = (x3 + 6x − 5)/(2x3 + 4x + 2)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 3x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1,5

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad
f′(1.5) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 1

Касательная к f(x) = x2 + x в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2 + xx = 1
b =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 32000 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €65 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 200 + 42q + 0,25q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €65C = 200 + 42q + 0,25q²
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy1y = x·sin x

Вычислите I = ∫₀1 x·sin x dx (x в радианах).

∫₀1 x·sin x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−33

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(1 + 6/x2 + (−5)/x3)/(2 + 4/x2 + 2/x3)

Пусть x → ∞

L = 1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

3·sin 3x/(2x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/2

Подставьте x = 0

L = 9/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5
3.Производные

Ответ: f′(1.5) = −2,829

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Ответ

f′(1,5) = −2,829
4.Производные

Ответ: b = −1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(1) = 2
f′(x) = 2x + 1 → f′(1) = 3

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − 3·1 = −1

Ответ

b = −1
5.Оптимизация

Ответ: h = 20 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 128000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Высота и площадь

h = 32000/40² = 20 cm
S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Ответ

h = 20 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 329 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 65q − (200 + 42q + 0,25q²) = −0,25q2 + 23q − 200

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

23 − 0,5q = 0 → q = 46

Максимальная прибыль

P = 23·46 − 0,25·46² − 200 = €329

Ответ

P = €329
7.Интегралы

Ответ: I = 0,3012

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Ответ

I = 0,3012
8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1