Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (4x² − x − 9)/(4x² + 4x + 9).

f(x) = (4x² − x − 9)/(4x² + 4x + 9)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 2). Найдите f′(2).

f(x) = ln(2x² + 2)x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + 4x + 4 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + 4x + 4x = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 62500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 950 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 25 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 25 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

950 × €2025 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = √(2x) от x = 0 до x = 2 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (параболоида).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 2

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = x² и y = x.

y = x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(4 + (−1)/x + (−9)/x²)/(4 + 4/x + 9/x²)

Пусть x → ∞

L = 4/4 = 1

Ответ

L = 1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2,25

Первое применение

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/4

Подставьте x = 0

L = 9/4 = 2,25

Ответ

L = 2,25

3.Производные

Ответ: f′(2) = 0,8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

Подставьте

f′(2) = 8/10 = 0,8

Ответ

f′(2) = 0,8

4.Производные

Ответ: b = 2

Точка и наклон

f(1) = 10

f′(x) = 4x + 4 → f′(1) = 8

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 10 − 8·1 = 2

Ответ

b = 2

5.Оптимизация

Ответ: x = 50 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 250000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Высота и площадь

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Ответ

x = 50 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: R = 21025 €

Выручка как функция цены

n(p) = 1450 − 25p

R(p) = 1450p − 25p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −50 < 0, поэтому это максимум.

p = 1450/50 = €29

Максимальная выручка

n = 1450 − 25·29 = 725

R = 29·725 = €21025

Ответ

R = €21025

7.Интегралы

Ответ: V = 12,57

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀² 2x dx

Интегрируйте

V = π·2·2²/2 = 12,57

Ответ

V = 12,57

8.Интегралы

Ответ: A = 0,1667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x² = x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,3333x³]₀¹ = 0,1667

Ответ

A = 0,1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1