Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 + 2/x)3x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 2/x)3xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x2·e0,5x. Найдите f′(2).

f(x) = x2·e0,5xx = 2
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 6x2 + 9x + 1
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 4000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 4000 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 140 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 3300 + 35q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 140 − 0,25qC = 3300 + 35q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 ex dx.

f(x) = ex[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = 2x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = 2x.

y = 0,5x2y = 2x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 403,4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Избавьтесь от логарифма

L = e6 = 403,4

Ответ

L = 403,4
2.Пределы

Ответ: L = 3

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 3/1 = 3

Ответ

L = 3
3.Производные

Ответ: f′(2) = 16,31

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e0,5x·(2x + 0,5·x2)

Подставьте

f′(2) = 2,718·(4 + 2) = 16,31

Ответ

f′(2) = 16,31
4.Производные

Ответ: x = −3

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 12x + 9 = 3·(x2 + 4x + 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 12: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −6, f″(−1) = 6
x = −3

Ответ

x = −3
5.Оптимизация

Ответ: h = 10 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Высота и площадь

h = 4000/20² = 10 cm
S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Ответ

h = 10 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: p = 87,5 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (140 − 0,25q)·q − (3300 + 35q) = −0,25q2 + 105q − 3300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 105/0,5 = 210

Цена и прибыль

p = 140 − 0,25·210 = €87,5
P = 105·210 − 0,25·210² − 3300 = €7725

Ответ

p = €87,5
7.Интегралы

Ответ: I = 6,389

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = ex/1

Подставьте пределы

I = (e2 − 1)/1 = (7,389 − 1)/1 = 6,389

Ответ

I = 6,389
8.Интегралы

Ответ: A = 5,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333

Ответ

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1