Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(4x² − 2x) − 2x).

f(x) = √(4x² − 2x) − 2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·e^xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 3. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ + 7,5x² + 12x + 3

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 250 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 250 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 170 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 400 + 70q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 170 − 2qC = 400 + 70q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² e^0,5x dx.

f(x) = e^0,5x[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 4 − x² и осью x.

y = 4 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −2x/(√(4x² − 2x) + 2x)

Разделите на x

f(x) = −2/(√(4 + (−2)/x) + 2)

Пусть x → ∞

L = −2/(2 + 2) = −0,5

Ответ

L = −0,5

2.Пределы

Ответ: L = 5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 5/1 = 5

Ответ

L = 5

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 2,473

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(1 + 1·x)

Подставьте

f′(0,5) = 1,649·(1 + 0,5) = 2,473

Ответ

f′(0,5) = 2,473

4.Производные

Ответ: x = −1

Производная

f′(x) = 3x² + 15x + 12 = 3·(x² + 5x + 4)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 15: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9

x = −1

Ответ

x = −1

5.Оптимизация

Ответ: A = 219,7 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Высота и площадь

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Ответ

A = 219,7 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 120 €

Функция прибыли

P(q) = (170 − 2q)·q − (400 + 70q) = −2q² + 100q − 400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 100/4 = 25

Цена и прибыль

p = 170 − 2·25 = €120

P = 100·25 − 2·25² − 400 = €850

Ответ

p = €120

7.Интегралы

Ответ: I = 3,437

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^0,5x/0,5

Подставьте пределы

I = (e¹ − 1)/0,5 = (2,718 − 1)/0,5 = 3,437

Ответ

I = 3,437

8.Интегралы

Ответ: A = 10,67

Нули

4 − x² = 0 → x = ±2

Интегрируйте

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Ответ

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1