Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x − 1)⁵. Найдите f′(1).

f(x) = (2x − 1)⁵x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = −x² + 4 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x² + 4x = −2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 250 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 250 cm³

r = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 390 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

390 × €1010 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·cos x dx (x в радианах).

∫₀² x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 4x и параболой y = 3x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 4xy = 3x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,04979

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−1) = −3

Избавьтесь от логарифма

L = e⁻³ = 0,04979

Ответ

L = 0,04979

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/2

Подставьте x = 0

L = 4/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(1) = 10

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(2x − 1)⁴·2

Подставьте

f′(1) = 5·1⁴·2 = 10

Ответ

f′(1) = 10

4.Производные

Ответ: b = 8

Точка и наклон

f(−2) = 0

f′(x) = −2x → f′(−2) = 4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 4·(−2) = 8

Ответ

b = 8

5.Оптимизация

Ответ: r = 3,414 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Высота и площадь

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Ответ

r = 3,414 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: R = 6003 €

Выручка как функция цены

n(p) = 490 − 10p

R(p) = 490p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 490/20 = €24,5

Максимальная выручка

n = 490 − 10·24,5 = 245

R = 24,5·245 = €6003

Ответ

R = €6003

7.Интегралы

Ответ: I = 0,4024

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Ответ

I = 0,4024

8.Интегралы

Ответ: V = 15,89

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

Метод колец (шайб)

V = π∫₀^1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

Ответ

V = 15,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1