Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (4x − 3)⁴. Найдите f′(1).

f(x) = (4x − 3)⁴x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² − 1 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² − 1x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 200 m²€40/m€10/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 180 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 12700 + 50q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 180 − 0,1qC = 12700 + 50q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.ИнтегралыСложная

Вычислите I = ∫₀³ x²·eˣ dx.

∫₀³ x²eˣ dx

I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,1353

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Избавьтесь от логарифма

L = e⁻² = 0,1353

Ответ

L = 0,1353

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

2·sin 2x/(2x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/2

Подставьте x = 0

L = 4/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(1) = 16

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(4x − 3)³·4

Подставьте

f′(1) = 4·1³·4 = 16

Ответ

f′(1) = 16

4.Производные

Ответ: b = −3

Точка и наклон

f(−1) = 1

f′(x) = 4x → f′(−1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 1 − (−4)·(−1) = −3

Ответ

b = −3

5.Оптимизация

Ответ: C = 894,4 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 50x + 4000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 8000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4000/50) = 8,944 m

y = 200/8,944 = 22,36 m

Минимальная стоимость

C = 50·8,944 + 4000/8,944 = €894,4

Ответ

C = €894,4

6.Оптимизация

Ответ: p = 115 €

Функция прибыли

P(q) = (180 − 0,1q)·q − (12700 + 50q) = −0,1q² + 130q − 12700

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 130/0,2 = 650

Цена и прибыль

p = 180 − 0,1·650 = €115

P = 130·650 − 0,1·650² − 12700 = €29550

Ответ

p = €115

7.Интегралы

Ответ: I = 41,33

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

Ответ

I = 41,33

8.Интегралы

Ответ: I = 98,43

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

20,09·(5) − 1·2 = 98,43

Ответ

I = 98,43

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1