Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 5x) − x).

f(x) = √(x2 − 5x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = (3x + 1)5. Найдите f′(2).

f(x) = (3x + 1)5x = 2
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 2. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 3x2 − 9x − 2
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 400 cm³
A = cm²
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)12сейчас

Театр продаёт 1500 билетов на спектакль по €12 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

1500 × €1250 / €1
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy15

Вычислите I = ∫15 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 0,5x2​y = 2x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x2 и y = 2x.

y = 0,5x2y = 2x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −5x/(√(x2 − 5x) + x)

Разделите на x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Ответ

L = −2,5
2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(0,5·e0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125
3.Производные

Ответ: f′(2) = 36015

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(3x + 1)4·3

Подставьте

f′(2) = 5·74·3 = 36015

Ответ

f′(2) = 36015
4.Производные

Ответ: x = −3

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 6x − 9 = 3·(x2 + 2x − 3)

Решите f′(x) = 0

x = −3 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x + 6: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−3) = −12, f″(1) = 12
x = −3

Ответ

x = −3
5.Оптимизация

Ответ: A = 300,5 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Высота и площадь

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Ответ

A = 300,5 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 21 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 2100 − 50p
R(p) = 2100p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 2100/100 = €21

Максимальная выручка

n = 2100 − 50·21 = 1050
R = 21·1050 = €22050

Ответ

p = €21
7.Интегралы

Ответ: I = 4,828

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 3·ln x

Подставьте пределы

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Ответ

I = 4,828
8.Интегралы

Ответ: A = 5,333

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x2 = 2x → x = 0, x = 4

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [x2 − 0,1667x3]04 = 5,333

Ответ

A = 5,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1