Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 5x) − x).

f(x) = √(x2 − 5x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 3x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = (−2x + 1)5. Найдите f′(1).

f(x) = (−2x + 1)5x = 1
f′(1) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 1

Касательная к f(x) = 0,5x2 + 5x + 1 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x2 + 5x + 1x = 1
b =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 1000 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 1000 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 200 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 2500 + 130q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 200 − 0,25qC = 2500 + 130q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy4y = √(x)

Область под y = √(x) от x = 0 до x = 4 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (параболоида).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 4
V =
8.ИнтегралыСложная
xyy = 2x2​y = 3x

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = 3x.

y = 2x2y = 3x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −5x/(√(x2 − 5x) + x)

Разделите на x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2,5

Ответ

L = −2,5
2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

3·sin 3x/(8x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/8

Подставьте x = 0

L = 9/8 = 1,125

Ответ

L = 1,125
3.Производные

Ответ: f′(1) = −10

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(−2x + 1)4·(−2)

Подставьте

f′(1) = 5·(−1)4·(−2) = −10

Ответ

f′(1) = −10
4.Производные

Ответ: b = 0,5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(1) = 6,5
f′(x) = x + 5 → f′(1) = 6

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6,5 − 6·1 = 0,5

Ответ

b = 0,5
5.Оптимизация

Ответ: h = 10,84 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 1000/(πr²)
A(r) = 2πr² + 2000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Высота и площадь

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm
A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Ответ

h = 10,84 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 165 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (200 − 0,25q)·q − (2500 + 130q) = −0,25q2 + 70q − 2500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 70/0,5 = 140

Цена и прибыль

p = 200 − 0,25·140 = €165
P = 70·140 − 0,25·140² − 2500 = €2400

Ответ

p = €165
7.Интегралы

Ответ: V = 25,13

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀4 x dx

Интегрируйте

V = π·1·4²/2 = 25,13

Ответ

V = 25,13
8.Интегралы

Ответ: A = 1,125

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x2 = 3x → x = 0, x = 1,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x2 − 0,6667x3]01,5 = 1,125

Ответ

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1