Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (−5x³ − 5x − 8)/(2x³ + 4x + 6).

f(x) = (−5x³ − 5x − 8)/(2x³ + 4x + 6)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (3x + 3)⁴. Найдите f′(2).

f(x) = (3x + 3)⁴x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² + 3x + 1 в точке x = 2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² + 3x + 1x = 2

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 800 m²€40/m€10/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 2600 билетов на спектакль по €25 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 50 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 50 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

2600 × €2550 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·cos x dx (x в радианах).

∫₀² x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−5 + (−5)/x² + (−8)/x³)/(2 + 4/x² + 6/x³)

Пусть x → ∞

L = −5/2 = −2,5

Ответ

L = −2,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(2) = 8748

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 4·(3x + 3)³·3

Подставьте

f′(2) = 4·9³·3 = 8748

Ответ

f′(2) = 8748

4.Производные

Ответ: b = −1

Точка и наклон

f(2) = 9

f′(x) = x + 3 → f′(2) = 5

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 5·2 = −1

Ответ

b = −1

5.Оптимизация

Ответ: C = 1789 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 50x + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(16000/50) = 17,89 m

y = 800/17,89 = 44,72 m

Минимальная стоимость

C = 50·17,89 + 16000/17,89 = €1789

Ответ

C = €1789

6.Оптимизация

Ответ: R = 74113 €

Выручка как функция цены

n(p) = 3850 − 50p

R(p) = 3850p − 50p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −100 < 0, поэтому это максимум.

p = 3850/100 = €38,5

Максимальная выручка

n = 3850 − 50·38,5 = 1925

R = 38,5·1925 = €74113

Ответ

R = €74113

7.Интегралы

Ответ: I = 0,4024

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Ответ

I = 0,4024

8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1