Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.
Найдите предел L = limx→∞ (−x3 + 5x − 2)/(5x3 + 2x + 6).
Найдите предел L = limx→0 ln(1 + x)/sin(5x), где x в радианах.
Пусть f(x) = (−2x + 3)4. Найдите f′(2).
Пусть f(x) = x3 − 10,5x2 + 30x. Найдите x-координату x локального максимума.
Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 750 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.
Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 120 − 0,2q евро за единицу, а затраты C(q) = 600 + 80q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.
Вычислите I = ∫₀1 x·cos x dx (x в радианах).
Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x2 и y = 3x.
Ответ: L = −0,2
Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).
При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.
Ответ: L = 0,2
Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).
Ответ: f′(2) = 8
Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.
Ответ: x = 2
Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.
f″(x) = 6x − 21: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.
Ответ: r = 4,924 cm
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, поэтому это минимум.
Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.
Ответ: q = 100 ед.
Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.
P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.
Ответ: I = 0,3818
Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.
Ответ: A = 1,125
Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1