Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x).

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 12x + 2. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 12x + 2

x =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 13500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 13500 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 390 билетов на спектакль по €15 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

390 × €1510 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀² x·cos x dx (x в радианах).

∫₀² x·cos x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

Разделите на x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4,5

Ответ

L = 4,5

2.Пределы

Ответ: L = 0,6667

Первое применение

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Второе применение

4·cos 2x/6

Подставьте x = 0

L = 4/6 = 0,6667

Ответ

L = 0,6667

3.Производные

Ответ: f′(1.5) = −1,926

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

Ответ

f′(1,5) = −1,926

4.Производные

Ответ: x = 2

Производная

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

Решите f′(x) = 0

x = −2 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

Ответ

x = 2

5.Оптимизация

Ответ: x = 30 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 54000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Высота и площадь

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Ответ

x = 30 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: R = 7290 €

Выручка как функция цены

n(p) = 540 − 10p

R(p) = 540p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 540/20 = €27

Максимальная выручка

n = 540 − 10·27 = 270

R = 27·270 = €7290

Ответ

R = €7290

7.Интегралы

Ответ: I = 0,4024

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Первообразная

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Пределы

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Ответ

I = 0,4024

8.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1