Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (6x³ − 2x + 5)/(2x³ + 3x + 3).

f(x) = (6x³ − 2x + 5)/(2x³ + 3x + 3)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^2x. Найдите f′(2).

f(x) = x·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 3x² + 2x − 3 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 3x² + 2x − 3x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 400 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 120 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 1300 + 55q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 120 − 0,25qC = 1300 + 55q

p = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 2x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 0,5x² и y = 4x.

y = 0,5x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 3

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(6 + (−2)/x² + 5/x³)/(2 + 3/x² + 3/x³)

Пусть x → ∞

L = 6/2 = 3

Ответ

L = 3

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Первое применение

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e^x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5

3.Производные

Ответ: f′(2) = 273

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Подставьте

f′(2) = 54,6·(1 + 4) = 273

Ответ

f′(2) = 273

4.Производные

Ответ: b = −6

Точка и наклон

f(−1) = −2

f′(x) = 6x + 2 → f′(−1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·(−1) = −6

Ответ

b = −6

5.Оптимизация

Ответ: A = 300,5 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Высота и площадь

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Ответ

A = 300,5 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 87,5 €

Функция прибыли

P(q) = (120 − 0,25q)·q − (1300 + 55q) = −0,25q² + 65q − 1300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 65/0,5 = 130

Цена и прибыль

p = 120 − 0,25·130 = €87,5

P = 65·130 − 0,25·130² − 1300 = €2925

Ответ

p = €87,5

7.Интегралы

Ответ: V = 113,1

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀³ 4x² dx

Интегрируйте

V = π·4·3³/3 = 113,1

Ответ

V = 113,1

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 113,1.

8.Интегралы

Ответ: A = 42,67

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

0,5x² = 4x → x = 0, x = 8

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,1667x³]₀⁸ = 42,67

Ответ

A = 42,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1