Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−4x2 − x + 6)/(2x2 + x + 7).

f(x) = (−4x2 − x + 6)/(2x2 + x + 7)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −2

Пусть f(x) = ln(x2 + 1). Найдите f′(−2).

f(x) = ln(x2 + 1)x = −2
f′(−2) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = 1

Касательная к f(x) = x2 + 2x + 4 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2 + 2x + 4x = 1
b =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 400 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 400 cm³
r = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 110 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 1200 + 70q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 110 − 0,1qC = 1200 + 70q
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 e0,5x dx.

f(x) = e0,5x[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy4y = 2xy = 0,5x²

Область между прямой y = 2x и параболой y = 0,5x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 0,5x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−4 + (−1)/x + 6/x2)/(2 + 1/x + 7/x2)

Пусть x → ∞

L = −4/2 = −2

Ответ

L = −2

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0

Второе применение

1·e−x/2

Подставьте x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5
3.Производные

Ответ: f′(−2) = −0,8

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 1)

Подставьте

f′(−2) = −4/5 = −0,8

Ответ

f′(−2) = −0,8
4.Производные

Ответ: b = 3

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(1) = 7
f′(x) = 2x + 2 → f′(1) = 4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − 4·1 = 3

Ответ

b = 3
5.Оптимизация

Ответ: r = 3,993 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

Высота и площадь

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

Ответ

r = 3,993 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 2800 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (110 − 0,1q)·q − (1200 + 70q) = −0,1q2 + 40q − 1200

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 40/0,2 = 200

Цена и прибыль

p = 110 − 0,1·200 = €90
P = 40·200 − 0,1·200² − 1200 = €2800

Ответ

P = €2800
7.Интегралы

Ответ: I = 3,437

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e0,5x/0,5

Подставьте пределы

I = (e1 − 1)/0,5 = (2,718 − 1)/0,5 = 3,437

Ответ

I = 3,437
8.Интегралы

Ответ: V = 107,2

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

Метод колец (шайб)

V = π∫₀4 ((2x)² − (0,5x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

Ответ

V = 107,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1