Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 1/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^0,5x. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·e^0,5xx = 0,5

f′(0.5) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x²x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 450 m²€40/m€10/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 100 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 1800 + 40q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 100 − 0,1qC = 1800 + 40q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ e^x dx.

f(x) = e^x[0, 1]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = x.

y = 2x²y = x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 7,389

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·1 = 2

Избавьтесь от логарифма

L = e² = 7,389

Ответ

L = 7,389

2.Пределы

Ответ: L = 2,5

Правило Лопиталя

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 5/2 = 2,5

Ответ

L = 2,5

3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,605

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^0,5x·(1 + 0,5·x)

Подставьте

f′(0,5) = 1,284·(1 + 0,25) = 1,605

Ответ

f′(0,5) = 1,605

4.Производные

Ответ: b = −2

Точка и наклон

f(−1) = 2

f′(x) = 4x → f′(−1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−4)·(−1) = −2

Ответ

b = −2

5.Оптимизация

Ответ: x = 13,42 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 50x + 9000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 18000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(9000/50) = 13,42 m

y = 450/13,42 = 33,54 m

Минимальная стоимость

C = 50·13,42 + 9000/13,42 = €1342

Ответ

x = 13,42 m

6.Оптимизация

Ответ: q = 300 ед.

Функция прибыли

P(q) = (100 − 0,1q)·q − (1800 + 40q) = −0,1q² + 60q − 1800

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 60/0,2 = 300

Цена и прибыль

p = 100 − 0,1·300 = €70

P = 60·300 − 0,1·300² − 1800 = €7200

Ответ

q = 300

7.Интегралы

Ответ: I = 1,718

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^x/1

Подставьте пределы

I = (e¹ − 1)/1 = (2,718 − 1)/1 = 1,718

Ответ

I = 1,718

8.Интегралы

Ответ: A = 0,04167

Точки пересечения

2x² = x → x = 0, x = 0,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

Ответ

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1