Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−6x3 + 4x + 3)/(4x3 + 4x + 7).

f(x) = (−6x3 + 4x + 3)/(4x3 + 4x + 7)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e3x − 1 − 3x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = −1

Пусть f(x) = ln(2x2 + 2). Найдите f′(−1).

f(x) = ln(2x2 + 2)x = −1
f′(−1) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 12x2 + 45x − 1. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 12x2 + 45x − 1
x =
5.ОптимизацияСредняя
xhxбез крышки

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 500 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите минимальную площадь поверхности S.

V = 500 cm³
S = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €55 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 2100 + 14q + 0,1q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €55C = 2100 + 14q + 0,1q²
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy24

Вычислите I = ∫24 4/x dx.

f(x) = 4/x[2, 4]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy−33

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−6 + 4/x2 + 3/x3)/(4 + 4/x2 + 7/x3)

Пусть x → ∞

L = −6/4 = −1,5

Ответ

L = −1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(3·e3x − 3)/(2x) → 0/0

Второе применение

9·e3x/2

Подставьте x = 0

L = 9·1/2 = 4,5

Ответ

L = 4,5
3.Производные

Ответ: f′(−1) = −1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x2 + 2)

Подставьте

f′(−1) = −4/4 = −1

Ответ

f′(−1) = −1
4.Производные

Ответ: x = 5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 24x + 45 = 3·(x2 − 8x + 15)

Решите f′(x) = 0

x = 3 или x = 5

Что есть что

f″(x) = 6x − 24: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(3) = −6, f″(5) = 6
x = 5

Ответ

x = 5
5.Оптимизация

Ответ: S = 300 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 2000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 4000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 1000 → x = 10 cm

Высота и площадь

h = 500/10² = 5 cm
S = 10² + 2000/10 = 300 cm²

Ответ

S = 300 cm²

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: P = 2103 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 55q − (2100 + 14q + 0,1q²) = −0,1q2 + 41q − 2100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

41 − 0,2q = 0 → q = 205

Максимальная прибыль

P = 41·205 − 0,1·205² − 2100 = €2103

Ответ

P = €2103
7.Интегралы

Ответ: I = 2,773

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 4·ln x

Подставьте пределы

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2,773

Ответ

I = 2,773
8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1