Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 10x) − x).

f(x) = √(x2 − 10x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = (3x + 1)5. Найдите f′(2).

f(x) = (3x + 1)5x = 2
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 4,5x2 + 6x
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 500 cm³
h = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 70 − 2q евро за единицу, а затраты C(q) = 100 + 10q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 70 − 2qC = 100 + 10q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy12

Вычислите I = ∫12 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy1y = x²eˣ

Вычислите I = ∫₀1 x²·eˣ dx.

∫₀1 x²eˣ dx
I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −10x/(√(x2 − 10x) + x)

Разделите на x

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −10/(1 + 1) = −5

Ответ

L = −5
2.Пределы

Ответ: L = 2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[cos x]

Подставьте x = 0

L = 2/1 = 2

Ответ

L = 2
3.Производные

Ответ: f′(2) = 36015

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(3x + 1)4·3

Подставьте

f′(2) = 5·74·3 = 36015

Ответ

f′(2) = 36015
4.Производные

Ответ: x = 2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 9x + 6 = 3·(x2 − 3x + 2)

Решите f′(x) = 0

x = 1 или x = 2

Что есть что

f″(x) = 6x − 9: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(1) = −3, f″(2) = 3
x = 2

Ответ

x = 2
5.Оптимизация

Ответ: h = 8,603 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 500/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Высота и площадь

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm
A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Ответ

h = 8,603 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 40 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (70 − 2q)·q − (100 + 10q) = −2q2 + 60q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −4 < 0, поэтому это максимум.

q = 60/4 = 15

Цена и прибыль

p = 70 − 2·15 = €40
P = 60·15 − 2·15² − 100 = €350

Ответ

p = €40
7.Интегралы

Ответ: I = 0,6931

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = ln x

Подставьте пределы

I = (ln 2 − ln 1) = ln 2 = 0,6931

Ответ

I = 0,6931
8.Интегралы

Ответ: I = 0,7183

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

2,718·(1) − 1·2 = 0,7183

Ответ

I = 0,7183

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1