Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 0,5/x)^2xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(2x² + 1). Найдите f′(2).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² − 5x − 1 в точке x = 1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² − 5x − 1x = 1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 450 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €40 за метр, остальные три стороны — €5 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 450 m²€40/m€5/m

C = €

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €25 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 100 + 8q + 0,2q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €25C = 100 + 8q + 0,2q²

P = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 2x от x = 0 до x = 3 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 2x0 ≤ x ≤ 3

V =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области между параболой y = 9 − x² и осью x.

y = 9 − x²

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 2,718

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 0,5/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·0,5 = 1

Избавьтесь от логарифма

L = e¹ = 2,718

Ответ

L = 2,718

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

4·sin 4x/(8x) → 0/0

Второе применение

16·cos 4x/8

Подставьте x = 0

L = 16/8 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(2) = 0,8889

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

Подставьте

f′(2) = 8/9 = 0,8889

Ответ

f′(2) = 0,8889

4.Производные

Ответ: b = −1,5

Точка и наклон

f(1) = −5,5

f′(x) = x − 5 → f′(1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5,5 − (−4)·1 = −1,5

Ответ

b = −1,5

5.Оптимизация

Ответ: C = 900 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 45x + 4500/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 9000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4500/45) = 10 m

y = 450/10 = 45 m

Минимальная стоимость

C = 45·10 + 4500/10 = €900

Ответ

C = €900

6.Оптимизация

Ответ: P = 261,3 €

Функция прибыли

P(q) = 25q − (100 + 8q + 0,2q²) = −0,2q² + 17q − 100

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,4 < 0, поэтому это максимум.

17 − 0,4q = 0 → q = 42,5

Максимальная прибыль

P = 17·42,5 − 0,2·42,5² − 100 = €261,3

Ответ

P = €261,3

7.Интегралы

Ответ: V = 113,1

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀³ 4x² dx

Интегрируйте

V = π·4·3³/3 = 113,1

Ответ

V = 113,1

Проверка: конус с радиусом 6 и высотой 3 имеет (1/3)πr²h = 113,1.

8.Интегралы

Ответ: A = 36

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Нули

9 − x² = 0 → x = ±3

Интегрируйте

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Ответ

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1