Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (6x² − 3x − 5)/(4x² + 4x + 6).

f(x) = (6x² − 3x − 5)/(4x² + 4x + 6)x → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(3x² + 4). Найдите f′(1).

f(x) = ln(3x² + 4)x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 3x² + 4x − 2 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 3x² + 4x − 2x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 32000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите сторону дна x.

V = 32000 cm³

x = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €75 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 1600 + 50q + 0,02q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €75C = 1600 + 50q + 0,02q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀¹ x·sin x dx (x в радианах).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(6 + (−3)/x + (−5)/x²)/(4 + 4/x + 6/x²)

Пусть x → ∞

L = 6/4 = 1,5

Ответ

L = 1,5

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2

Первое применение

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

Второе применение

4·e^2x/2

Подставьте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Ответ

L = 2

3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,8571

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

Подставьте

f′(1) = 6/7 = 0,8571

Ответ

f′(1) = 0,8571

4.Производные

Ответ: b = −5

Точка и наклон

f(−1) = −3

f′(x) = 6x + 4 → f′(−1) = −2

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−2)·(−1) = −5

Ответ

b = −5

5.Оптимизация

Ответ: x = 40 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 128000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 256000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 64000 → x = 40 cm

Высота и площадь

h = 32000/40² = 20 cm

S = 40² + 128000/40 = 4800 cm²

Ответ

x = 40 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 625 ед.

Функция прибыли

P(q) = 75q − (1600 + 50q + 0,02q²) = −0,02q² + 25q − 1600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,04 < 0, поэтому это максимум.

25 − 0,04q = 0 → q = 625

Максимальная прибыль

P = 25·625 − 0,02·625² − 1600 = €6213

Ответ

q = 625

7.Интегралы

Ответ: I = 0,3012

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Первообразная

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Пределы

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Ответ

I = 0,3012

8.Интегралы

Ответ: A = 1,125

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Ответ

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1