Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (2x3 − 5x + 8)/(5x3 + 4x + 7).

f(x) = (2x3 − 5x + 8)/(5x3 + 4x + 7)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(1).

f(x) = x·sin(2x)x = 1 rad
f′(1) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −1

Касательная к f(x) = x2 − 3x + 2 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2 − 3x + 2x = −1
b =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €25/m€10/myyx

Прямоугольный участок площадью 200 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 200 m²€25/m€10/m
x = m
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €65 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 4200 + 12q + 0,1q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €65C = 4200 + 12q + 0,1q²
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy12,5y = x ln x

Вычислите I = ∫₁2,5 x·ln x dx.

∫₁2,5 x ln x dx
I =
8.ИнтегралыСложная
xy3y = 3xy = x²

Область между прямой y = 3x и параболой y = x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 3xy = x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(2 + (−5)/x2 + 8/x3)/(5 + 4/x2 + 7/x3)

Пусть x → ∞

L = 2/5 = 0,4

Ответ

L = 0,4

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 1,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(1,5·e1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

2,25·e1,5x/2

Подставьте x = 0

L = 2,25·1/2 = 1,125

Ответ

L = 1,125
3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(1) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Ответ

f′(1) = 0,077
4.Производные

Ответ: b = 1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−1) = 6
f′(x) = 2x − 3 → f′(−1) = −5

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 6 − (−5)·(−1) = 1

Ответ

b = 1
5.Оптимизация

Ответ: x = 10,69 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 4000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 8000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(4000/35) = 10,69 m
y = 200/10,69 = 18,71 m

Минимальная стоимость

C = 35·10,69 + 4000/10,69 = €748,3

Ответ

x = 10,69 m
6.Оптимизация

Ответ: P = 2823 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 65q − (4200 + 12q + 0,1q²) = −0,1q2 + 53q − 4200

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

53 − 0,2q = 0 → q = 265

Максимальная прибыль

P = 53·265 − 0,1·265² − 4200 = €2823

Ответ

P = €2823
7.Интегралы

Ответ: I = 1,551

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(3,125·ln 2,5 − 1,5625) − (0 − 0,25) = 1,551

Ответ

I = 1,551
8.Интегралы

Ответ: V = 101,8

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

3x = 1x² → x = 0, x = 3

Метод колец (шайб)

V = π∫₀3 ((3x)² − (1x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

Ответ

V = 101,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1