Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(9x² + 8x) − 3x).

f(x) = √(9x² + 8x) − 3xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x·e^2x. Найдите f′(2).

f(x) = x·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = −x² − 3 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x² − 3x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Открытая коробка (без крышки) с квадратным дном должна вмещать 4000 cm³. Израсходуйте как можно меньше материала, то есть сделайте наименьшей площадь дна плюс четырёх стенок. Найдите высоту h.

V = 4000 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €35 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 300 + 10q + 0,1q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €35C = 300 + 10q + 0,1q²

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 8x/(√(9x² + 8x) + 3x)

Разделите на x

f(x) = 8/(√(9 + 8/x) + 3)

Пусть x → ∞

L = 8/(3 + 3) = 1,333

Ответ

L = 1,333

2.Пределы

Ответ: L = 2,25

Первое применение

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/4

Подставьте x = 0

L = 9/4 = 2,25

Ответ

L = 2,25

3.Производные

Ответ: f′(2) = 273

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(1 + 2·x)

Подставьте

f′(2) = 54,6·(1 + 4) = 273

Ответ

f′(2) = 273

4.Производные

Ответ: b = −2

Точка и наклон

f(−1) = −4

f′(x) = −2x → f′(−1) = 2

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −4 − 2·(−1) = −2

Ответ

b = −2

5.Оптимизация

Ответ: h = 10 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция x

S(x) = x² + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Высота и площадь

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Ответ

h = 10 cm

Оптимальная открытая коробка вдвое ниже своей ширины.

6.Оптимизация

Ответ: q = 125 ед.

Функция прибыли

P(q) = 35q − (300 + 10q + 0,1q²) = −0,1q² + 25q − 300

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

25 − 0,2q = 0 → q = 125

Максимальная прибыль

P = 25·125 − 0,1·125² − 300 = €1263

Ответ

q = 125

7.Интегралы

Ответ: I = 23,5

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Выберите u и dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Первообразная

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Пределы

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

Ответ

I = 23,5

8.Интегралы

Ответ: A = 1,125

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

Ответ

A = 1,125

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1