Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (−2x2 + 6x − 6)/(5x2 + 2x + 2).

f(x) = (−2x2 + 6x − 6)/(5x2 + 2x + 2)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + x)/sin(4x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0,5

Пусть f(x) = x·sin(2x), x в радианах. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −1

Касательная к f(x) = 0,5x2 + 3x + 6 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x2 + 3x + 6x = −1
b =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 330 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 330 cm³
A = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €45 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 500 + 26q + 0,05q² евро. Найдите максимальную прибыль P.

p = €45C = 500 + 26q + 0,05q²
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy15

Вычислите I = ∫15 3/x dx.

f(x) = 3/x[1, 5]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy1y = 3xy = 3x²

Область между прямой y = 3x и параболой y = 3x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 3xy = 3x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −0,4

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(−2 + 6/x + (−6)/x2)/(5 + 2/x + 2/x2)

Пусть x → ∞

L = −2/5 = −0,4

Ответ

L = −0,4

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

Подставьте x = 0

L = 1/4 = 0,25

Ответ

L = 0,25
3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,382

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

Ответ

f′(0,5) = 1,382
4.Производные

Ответ: b = 5,5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−1) = 3,5
f′(x) = x + 3 → f′(−1) = 2

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 3,5 − 2·(−1) = 5,5

Ответ

b = 5,5
5.Оптимизация

Ответ: A = 264,4 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 330/(πr²)
A(r) = 2πr² + 660/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Высота и площадь

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm
A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Ответ

A = 264,4 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 1305 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 45q − (500 + 26q + 0,05q²) = −0,05q2 + 19q − 500

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,1 < 0, поэтому это максимум.

19 − 0,1q = 0 → q = 190

Максимальная прибыль

P = 19·190 − 0,05·190² − 500 = €1305

Ответ

P = €1305
7.Интегралы

Ответ: I = 4,828

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = 3·ln x

Подставьте пределы

I = 3·(ln 5 − ln 1) = 3·ln 5 = 4,828

Ответ

I = 4,828
8.Интегралы

Ответ: V = 3,77

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Метод колец (шайб)

V = π∫₀1 ((3x)² − (3x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Ответ

V = 3,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1