Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² + 3x) − x).

f(x) = √(x² + 3x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = ln(x² + 2). Найдите f′(1).

f(x) = ln(x² + 2)x = 1

f′(1) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 2x² + 2x − 1 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 2x² + 2x − 1x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 330 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите высоту банки h, при которой расход материала наименьший.

V = 330 cm³

h = cm

6.ОптимизацияСложная

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 150 − 0,5q евро за единицу, а затраты C(q) = 3000 + 40q евро. Найдите недельный объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = 150 − 0,5qC = 3000 + 40q

q = ед.

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀³ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 3x и параболой y = 3x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 3xy = 3x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = 3x/(√(x² + 3x) + x)

Разделите на x

f(x) = 3/(√(1 + 3/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = 3/(1 + 1) = 1,5

Ответ

L = 1,5

2.Пределы

Ответ: L = 1,5

Первое применение

3·sin 3x/(6x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/6

Подставьте x = 0

L = 9/6 = 1,5

Ответ

L = 1,5

3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,6667

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x² + 2)

Подставьте

f′(1) = 2/3 = 0,6667

Ответ

f′(1) = 0,6667

4.Производные

Ответ: b = −3

Точка и наклон

f(−1) = −1

f′(x) = 4x + 2 → f′(−1) = −2

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −1 − (−2)·(−1) = −3

Ответ

b = −3

5.Оптимизация

Ответ: h = 7,49 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 330/(πr²)

A(r) = 2πr² + 660/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1320/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 660/r² = 0 → r = ∛(330/(2π)) = 3,745 cm

Высота и площадь

h = 330/(π·3,745²) = 2r = 7,49 cm

A = 2π·3,745² + 660/3,745 = 264,4 cm²

Ответ

h = 7,49 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 110 ед.

Функция прибыли

P(q) = (150 − 0,5q)·q − (3000 + 40q) = −0,5q² + 110q − 3000

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −1 < 0, поэтому это максимум.

q = 110/1 = 110

Цена и прибыль

p = 150 − 0,5·110 = €95

P = 110·110 − 0,5·110² − 3000 = €3050

Ответ

q = 110

7.Интегралы

Ответ: I = 201,2

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^2x/2

Подставьте пределы

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

Ответ

I = 201,2

8.Интегралы

Ответ: V = 3,77

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

3x = 3x² → x = 0, x = 1

Метод колец (шайб)

V = π∫₀¹ ((3x)² − (3x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(9·1³/3 − 9·1⁵/5) = π·1,2 = 3,77

Ответ

V = 3,77

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1