Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (√(x2 − 4x) − x).

f(x) = √(x2 − 4x) − xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e2x − 1 − 2x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 1

Пусть f(x) = ln(x2 + 4). Найдите f′(1).

f(x) = ln(x2 + 4)x = 1
f′(1) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −2

Касательная к f(x) = x2 + 3x − 1 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = x2 + 3x − 1x = −2
b =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 355 cm³
r = cm
6.ОптимизацияСложная
p (€)R(p)10сейчас

Театр продаёт 140 билетов на спектакль по €10 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите цену билета p, максимизирующую выручку.

140 × €1010 / €1
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy1y = 0,5x

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 1 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 1
V =
8.ИнтегралыСложная
xy2,5y = x²eˣ

Вычислите I = ∫₀2,5 x²·eˣ dx.

∫₀2,5 x²eˣ dx
I =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −4x/(√(x2 − 4x) + x)

Разделите на x

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −4/(1 + 1) = −2

Ответ

L = −2
2.Пределы

Ответ: L = 2

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(2·e2x − 2)/(2x) → 0/0

Второе применение

4·e2x/2

Подставьте x = 0

L = 4·1/2 = 2

Ответ

L = 2
3.Производные

Ответ: f′(1) = 0,4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило для логарифма

f′(x) = 2x/(x2 + 4)

Подставьте

f′(1) = 2/5 = 0,4

Ответ

f′(1) = 0,4
4.Производные

Ответ: b = −5

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−2) = −3
f′(x) = 2x + 3 → f′(−2) = −1

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − (−1)·(−2) = −5

Ответ

b = −5
5.Оптимизация

Ответ: r = 3,837 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm
A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

r = 3,837 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: p = 12 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Выручка как функция цены

n(p) = 240 − 10p
R(p) = 240p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 240/20 = €12

Максимальная выручка

n = 240 − 10·12 = 120
R = 12·120 = €1440

Ответ

p = €12
7.Интегралы

Ответ: V = 0,2618

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀1 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·1³/3 = 0,2618

Ответ

V = 0,2618

Проверка: конус с радиусом 0,5 и высотой 1 имеет (1/3)πr²h = 0,2618.

8.Интегралы

Ответ: I = 37,59

Интегрирование по частям: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, из правила произведения. Выбирайте u как множитель, который упрощается при дифференцировании (степень x или ln x), а dv — как множитель, который можно проинтегрировать (eˣ, sin x, cos x или x, когда u = ln x). Для определённого интеграла вычисляйте u·v на обоих пределах: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Множитель x² требует двух шагов.

Первый шаг

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

Второй шаг

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ
∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

Пределы

12,18·(3,25) − 1·2 = 37,59

Ответ

I = 37,59

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1