Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (√(x² − 9x) − x).

f(x) = √(x² − 9x) − xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = (2x + 1)³. Найдите f′(−1).

f(x) = (2x + 1)³x = −1

f′(−1) =

4.ПроизводныеСложная

Пусть f(x) = x³ − 12x² + 36x. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x³ − 12x² + 36x

x =

5.ОптимизацияСредняя

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 500 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 500 cm³

A = cm²

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 1560 билетов на спектакль по €25 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 40 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 40 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

1560 × €2540 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Вычислите I = ∫₀³ e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 3]

I =

8.ИнтегралыСложная

Найдите площадь A области, ограниченной y = 2x² и y = 4x.

y = 2x²y = 4x

A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = −4,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Умножьте на сопряжённое

f(x) = −9x/(√(x² − 9x) + x)

Разделите на x

f(x) = −9/(√(1 + (−9)/x) + 1)

Пусть x → ∞

L = −9/(1 + 1) = −4,5

Ответ

L = −4,5

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(−1) = 6

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 3·(2x + 1)²·2

Подставьте

f′(−1) = 3·(−1)²·2 = 6

Ответ

f′(−1) = 6

4.Производные

Ответ: x = 6

Производная

f′(x) = 3x² − 24x + 36 = 3·(x² − 8x + 12)

Решите f′(x) = 0

x = 2 или x = 6

Что есть что

f″(x) = 6x − 24: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(2) = −12, f″(6) = 12

x = 6

Ответ

x = 6

5.Оптимизация

Ответ: A = 348,7 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Высота и площадь

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Ответ

A = 348,7 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: R = 40960 €

Выручка как функция цены

n(p) = 2560 − 40p

R(p) = 2560p − 40p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −80 < 0, поэтому это максимум.

p = 2560/80 = €32

Максимальная выручка

n = 2560 − 40·32 = 1280

R = 32·1280 = €40960

Ответ

R = €40960

7.Интегралы

Ответ: I = 0,9502

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e^−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e⁻³ − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Ответ

I = 0,9502

8.Интегралы

Ответ: A = 2,667

Точки пересечения

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Ответ

A = 2,667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1