Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (4x2 + 2x − 7)/(3x2 + 4x + 2).

f(x) = (4x2 + 2x − 7)/(3x2 + 4x + 2)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (e0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0,5

Пусть f(x) = x·sin(3x), x в радианах. Найдите f′(0,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.ПроизводныеСложная
xyx = −2

Касательная к f(x) = −x2 + 2x − 6 в точке x = −2 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = −x2 + 2x − 6x = −2
b =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 355 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности A.

V = 355 cm³
A = cm²
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Небольшая фирма продаёт продукцию по фиксированной рыночной цене €50 за единицу. Производство q единиц стоит C(q) = 800 + 22q + 0,1q² евро. Найдите объём выпуска q, максимизирующий прибыль.

p = €50C = 800 + 22q + 0,1q²
q = ед.
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 2x·(x² + 1)3 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xyy = x2​y = x

Найдите площадь A области, ограниченной y = x2 и y = x.

y = x2y = x
A =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1,333

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(4 + 2/x + (−7)/x2)/(3 + 4/x + 2/x2)

Пусть x → ∞

L = 4/3 = 1,333

Ответ

L = 1,333

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

(0,5·e0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125
3.Производные

Ответ: f′(0.5) = 1,104

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

Подставьте

f′(0,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Ответ

f′(0,5) = 1,104
4.Производные

Ответ: b = −2

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Точка и наклон

f(−2) = −14
f′(x) = −2x + 2 → f′(−2) = 6

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −14 − 6·(−2) = −2

Ответ

b = −2
5.Оптимизация

Ответ: A = 277,5 cm²

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Высота и площадь

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm
A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Ответ

A = 277,5 cm²

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: q = 140 ед.

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = 50q − (800 + 22q + 0,1q²) = −0,1q2 + 28q − 800

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

28 − 0,2q = 0 → q = 140

Максимальная прибыль

P = 28·140 − 0,1·140² − 800 = €1160

Ответ

q = 140
7.Интегралы

Ответ: I = 156

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Замена переменной

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u3 du

Проинтегрируйте и подставьте пределы

I = [u4/4]15 = (625 − 1)/4 = 156

Ответ

I = 156
8.Интегралы

Ответ: A = 0,1667

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Точки пересечения

x2 = x → x = 0, x = 1

Интегрируйте верхнюю минус нижнюю

A = [0,5x2 − 0,3333x3]01 = 0,1667

Ответ

A = 0,1667

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1