Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (x2 + 2x − 3)/(x2 + 5x + 1).

f(x) = (x2 + 2x − 3)/(x2 + 5x + 1)x → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 (1 − cos 3x)/(2x²), где x в радианах.

f(x) = (1 − cos 3x)/(2x²)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 0

Пусть f(x) = (4x − 3)5. Найдите f′(0).

f(x) = (4x − 3)5x = 0
f′(0) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 − 1,5x2. Найдите x-координату x локального минимума.

f(x) = x3 − 1,5x2
x =
5.ОптимизацияСредняя
сторона вдоль улицы: €30/m€10/myyx

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €30 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите минимальную общую стоимость C.

A = 800 m²€30/m€10/m
C = €
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 170 − 0,1q евро за единицу, а затраты C(q) = 25400 + 40q евро. Найдите цену p, максимизирующую прибыль.

p = 170 − 0,1qC = 25400 + 40q
p = €
7.ИнтегралыСредняя
xy02

Вычислите I = ∫02 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 2]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy2y = 4xy = 2x²

Область между прямой y = 4x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 4xy = 2x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 1

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Разделите на старшую степень

(1 + 2/x + (−3)/x2)/(1 + 5/x + 1/x2)

Пусть x → ∞

L = 1/1 = 1

Ответ

L = 1

При равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов.

2.Пределы

Ответ: L = 2,25

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Первое применение

3·sin 3x/(4x) → 0/0

Второе применение

9·cos 3x/4

Подставьте x = 0

L = 9/4 = 2,25

Ответ

L = 2,25
3.Производные

Ответ: f′(0) = 1620

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Цепное правило

f′(x) = 5·(4x − 3)4·4

Подставьте

f′(0) = 5·(−3)4·4 = 1620

Ответ

f′(0) = 1620
4.Производные

Ответ: x = 1

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 − 3x = 3·(x2 − x)

Решите f′(x) = 0

x = 0 или x = 1

Что есть что

f″(x) = 6x − 3: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(0) = −3, f″(1) = 3
x = 1

Ответ

x = 1
5.Оптимизация

Ответ: C = 1600 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 40x + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(16000/40) = 20 m
y = 800/20 = 40 m

Минимальная стоимость

C = 40·20 + 16000/20 = €1600

Ответ

C = €1600
6.Оптимизация

Ответ: p = 105 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (170 − 0,1q)·q − (25400 + 40q) = −0,1q2 + 130q − 25400

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,2 < 0, поэтому это максимум.

q = 130/0,2 = 650

Цена и прибыль

p = 170 − 0,1·650 = €105
P = 130·650 − 0,1·650² − 25400 = €16850

Ответ

p = €105
7.Интегралы

Ответ: I = 0,8647

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e−2 − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

Ответ

I = 0,8647
8.Интегралы

Ответ: V = 53,62

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

4x = 2x² → x = 0, x = 2

Метод колец (шайб)

V = π∫₀2 ((4x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

Ответ

V = 53,62

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1