Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка: сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности: разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Правило Лопиталя: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′
Производная частного: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
Примените правило степени к каждой степени x.
Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод: запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми: ∫_a^b (f − g) dx

Метод

Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для e^x, 1/x, sin и cos.
Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя

Найдите предел L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.ПределыСложная

Найдите предел L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.ПроизводныеСредняя

Пусть f(x) = x³·e^2x. Найдите f′(2).

f(x) = x³·e^2xx = 2

f′(2) =

4.ПроизводныеСложная

Касательная к f(x) = 0,5x² − 3x + 5 в точке x = −1 пересекает ось y в точке y = b. Найдите b.

f(x) = 0,5x² − 3x + 5x = −1

b =

5.ОптимизацияСредняя

Прямоугольный участок площадью 800 m² огорожен со всех четырёх сторон. Сторона вдоль улицы длиной x стоит €25 за метр, остальные три стороны — €10 за метр. Найдите длину x стороны вдоль улицы, при которой стоимость минимальна.

A = 800 m²€25/m€10/m

x = m

6.ОптимизацияСложная

Театр продаёт 390 билетов на спектакль по €20 за билет. Маркетинговое исследование показывает, что каждое повышение цены на €1 означает на 10 проданных билетов меньше (а каждое снижение на €1 — на 10 больше). Найдите максимальную выручку R за спектакль.

390 × €2010 / €1

R = €

7.ИнтегралыСредняя

Область под y = 0,5x от x = 0 до x = 2 вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела (конуса).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 2

V =

8.ИнтегралыСложная

Область между прямой y = 2x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 2xy = 2x²

V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 0,1353

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Избавьтесь от логарифма

L = e⁻² = 0,1353

Ответ

L = 0,1353

2.Пределы

Ответ: L = 0,125

Первое применение

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Второе применение

0,25·e^0,5x/2

Подставьте x = 0

L = 0,25·1/2 = 0,125

Ответ

L = 0,125

3.Производные

Ответ: f′(2) = 1529

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правило произведения

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

Подставьте

f′(2) = 54,6·(12 + 16) = 1529

Ответ

f′(2) = 1529

4.Производные

Ответ: b = 4,5

Точка и наклон

f(−1) = 8,5

f′(x) = x − 3 → f′(−1) = −4

Касательная при x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8,5 − (−4)·(−1) = 4,5

Ответ

b = 4,5

5.Оптимизация

Ответ: x = 21,38 m

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Стоимость как функция x

C(x) = 35x + 16000/x

Приравняйте производную к нулю

C″(x) = 32000/x³ > 0, поэтому это минимум.

x = √(16000/35) = 21,38 m

y = 800/21,38 = 37,42 m

Минимальная стоимость

C = 35·21,38 + 16000/21,38 = €1497

Ответ

x = 21,38 m

6.Оптимизация

Ответ: R = 8703 €

Выручка как функция цены

n(p) = 590 − 10p

R(p) = 590p − 10p²

Приравняйте производную к нулю

R″(p) = −20 < 0, поэтому это максимум.

p = 590/20 = €29,5

Максимальная выручка

n = 590 − 10·29,5 = 295

R = 29,5·295 = €8703

Ответ

R = €8703

7.Интегралы

Ответ: V = 2,094

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Метод дисков

V = π∫₀² 0,25x² dx

Интегрируйте

V = π·0,25·2³/3 = 2,094

Ответ

V = 2,094

Проверка: конус с радиусом 1 и высотой 2 имеет (1/3)πr²h = 2,094.

8.Интегралы

Ответ: V = 1,676

Точки пересечения

2x = 2x² → x = 0, x = 1

Метод колец (шайб)

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

Ответ

V = 1,676

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1