Математический анализ 1: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (8) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Пределы

Прямая подстановка
сначала подставьте x = a; 0/0 означает, что нужно упростить
Разложение на множители и сокращение
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Сопряжённое выражение
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Пределы на бесконечности
разделите на старшую степень x; при равных степенях предел равен отношению старших коэффициентов
Замечательный предел
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Правило Лопиталя
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Производные

Производная степени
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Правило произведения
(uv)′ = u′v + uv′
Производная частного
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Цепное правило
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Основные производные
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Метод

  1. Определите структуру: сумма, произведение, частное или композиция.
  2. Примените правило степени к каждой степени x.
  3. Где нужно, используйте правила дифференцирования произведения, частного или сложной функции.
  4. Упростите и, если требуется, вычислите значение в точке.

Оптимизация

Метод
запишите Q(x) через одну переменную, решите Q′(x) = 0, проверьте Q″ или концы отрезка
Максимум
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Минимум
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Закрытый цилиндр
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Прибыль
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Интегралы

Производная степени
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Определённый интеграл
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Основные интегралы
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Площадь между кривыми
∫ab (f − g) dx

Метод

  1. Где возможно, представьте подынтегральную функцию суммой простых слагаемых.
  2. Примените правило степени: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), и табличные интегралы для ex, 1/x, sin и cos.
  3. Используйте замену переменной, когда видите функцию вместе с её производной.
  4. Для определённого интеграла вычислите F(b) − F(a).

2Тренировочные задачи

1.ПределыСредняя
xyy = L

Найдите предел L = limx→∞ (1 + 0,5/x)2x. Дайте десятичное значение.

f(x) = (1 + 0,5/x)2xx → ∞
L =
2.ПределыСложная
xyx = 0

Найдите предел L = limx→0 ln(1 + x)/sin(2x), где x в радианах.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0
L =
3.ПроизводныеСредняя
xyx = 2

Пусть f(x) = x·sin(x), x в радианах. Найдите f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad
f′(2) =
4.ПроизводныеСложная
xy

Пусть f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x + 2. Найдите x-координату x локального максимума.

f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x + 2
x =
5.ОптимизацияСредняя
rh

Закрытая цилиндрическая банка (с крышкой и дном) должна вмещать 250 cm³. Расход металла пропорционален полной площади поверхности. Найдите радиус r, при котором расход материала наименьший.

V = 250 cm³
r = cm
6.ОптимизацияСложная
qP(q)максимум

Компания продаёт q единиц в неделю. Цена, по которой их можно продать, p = 160 − 0,25q евро за единицу, а затраты C(q) = 600 + 115q евро. Найдите максимальную недельную прибыль P.

p = 160 − 0,25qC = 600 + 115q
P = €
7.ИнтегралыСредняя
xy03

Вычислите I = ∫03 e−x dx.

f(x) = e−x[0, 3]
I =
8.ИнтегралыСложная
xy2,5y = 5xy = 2x²

Область между прямой y = 5x и параболой y = 2x² вращается вокруг оси x. Найдите объём V полученного тела.

y = 5xy = 2x²
V =

3Растворы

1.Пределы

Ответ: L = 2,718

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Возьмите логарифм

ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 0,5/x)

Вычислите

ln(1 + u)/u → 1 при u → 0, поэтому x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·0,5 = 1

Избавьтесь от логарифма

L = e1 = 2,718

Ответ

L = 2,718
2.Пределы

Ответ: L = 0,5

Пределы: сначала попробуйте прямую подстановку. Если получается 0/0, сначала упростите: разложите на множители и сократите общий множитель или умножьте на сопряжённое выражение. При x → ∞ разделите числитель и знаменатель на старшую степень x. Правило Лопиталя: если f/g даёт 0/0 или ∞/∞, то lim f/g = lim f′/g′, причём числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности (а не по правилу для частного).

Правило Лопиталя

L = limx→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

Подставьте x = 0

L = 1/2 = 0,5

Ответ

L = 0,5
3.Производные

Ответ: f′(2) = 0,077

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Правила произведения и цепное

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Подставьте

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Ответ

f′(2) = 0,077
4.Производные

Ответ: x = −4

Дифференцирование: производная f′(x) — это наклон графика в точке x. Степенное правило: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Правило произведения: (uv)′ = u′v + uv′. Цепное правило: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Где f′(x) = 0, у графика горизонтальная касательная: максимум, минимум или седловая точка.

Производная

f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)

Решите f′(x) = 0

x = −4 или x = −1

Что есть что

f″(x) = 6x + 15: отрицательна в максимуме, положительна в минимуме.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −4

Ответ

x = −4
5.Оптимизация

Ответ: r = 3,414 cm

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Площадь как функция r

h = 250/(πr²)
A(r) = 2πr² + 500/r

Приравняйте производную к нулю

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, поэтому это минимум.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

Высота и площадь

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm
A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

Ответ

r = 3,414 cm

Самая экономичная закрытая банка имеет высоту, равную диаметру: h = 2r.

6.Оптимизация

Ответ: P = 1425 €

Оптимизация: запишите оптимизируемую величину как функцию одной переменной, исключив другую с помощью ограничения. Приравняйте производную к нулю и решите уравнение. Проверьте, что критическая точка — максимум или минимум (по второй производной или по смене знака первой) и что она лежит в допустимой области; конец промежутка, например нулевая длина стороны, ответом не является.

Функция прибыли

P(q) = (160 − 0,25q)·q − (600 + 115q) = −0,25q2 + 45q − 600

Приравняйте производную к нулю

P″(q) = −0,5 < 0, поэтому это максимум.

q = 45/0,5 = 90

Цена и прибыль

p = 160 − 0,25·90 = €137,5
P = 45·90 − 0,25·90² − 600 = €1425

Ответ

P = €1425
7.Интегралы

Ответ: I = 0,9502

Определённые интегралы: ∫ₐᵇ f(x) dx — это площадь со знаком между графиком и осью x от a до b. Найдите первообразную F (F′ = f) и вычислите F(b) − F(a). Степенное правило: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Площадь между двумя кривыми — ∫(верхняя − нижняя) dx.

Первообразная

F(x) = e−x/(−1)

Подставьте пределы

I = (e−3 − 1)/(−1) = (0,04979 − 1)/(−1) = 0,9502

Ответ

I = 0,9502
8.Интегралы

Ответ: V = 163,6

Объёмы тел вращения: вращение области под y = f(x) от x = a до x = b вокруг оси x даёт тело, сечение которого при x — круг радиуса f(x). Суммирование кругов даёт V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Когда область лежит между внешней кривой R(x) и внутренней кривой r(x), каждый слой — кольцо (шайба): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Возводите радиусы в квадрат до вычитания.

Точки пересечения

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

Метод колец (шайб)

V = π∫₀2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

Интегрируйте

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

Ответ

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1